Problem P. 5252. (October 2020)

P. 5252. A thin-walled tube of mass \(\displaystyle M\) is rolled by pulling a yarn wound around the tube as shown in the figure. The tube rolls at a constant speed along the horizontal floor without slipping. Inside the tube there is a small object, which slides on the wall of the tube and remains at a constant angular position, the coefficient of kinetic friction is \(\displaystyle \mu\). What is the tension in the yarn when the speed of the tube is constant?

(5 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, és írjuk le a mozgást a cső tengelyével együtt mozgó koordináta-rendszerben.

Az \(\displaystyle m\) tömegű test (a stacionárius állapot beállta után) nem mozog, miközben alatta egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű ,,lejtő'' csúszik felfelé. Az erőegyensúly feltétele: \(\displaystyle \alpha\) éppen a súrlódási határszöggel egyezik meg, vagyis

\(\displaystyle \mu=\tg\alpha.\)

A karika egyenletesen forog, ezért a rá ható erők eredő forgatónyomatéka tetszőleges pontra, pl. a talajjal érintkező pontjára vonatkoztatva nulla. Erre a pontra nézve csak a fonalat feszítő \(\displaystyle F\) nagyságú, vízszintes erőnek és az \(\displaystyle mg\) nagyságú nehézségi erőnek van forgatónyomatéka.

A forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle mgR\sin\alpha=2RF,\)

vagyis

\(\displaystyle F=\frac{mg}{2}\sin\alpha=\frac{mg}{2}\frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}} =\frac{mg}{2}\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}.\)

Megjegyzés. Látható, hogy a szükséges fonálerő nem függ a cső \(\displaystyle M\) tömegétől.

Statistics:

39 students sent a solution.
5 points:	Barkóczi Zsombor , Bognár 171 András Károly, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Koszta Benedek, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony.
4 points:	Kozaróczy Csaba, Molnár 123 Barnabás, Sas 202 Mór.
3 points:	10 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020