Problem P. 5253. (October 2020)

P. 5253. The average depth of the lake Pécsi-tó, which is next to the village Orfű, is 3.3 m. How much should the temperature of the water change from \(\displaystyle 25\;{}^\circ\)C in order that the water level decrease by 0.5 cm?

(4 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a tó felszínét \(\displaystyle A\)-val jelöljük, akkor a benne lévő víz tömegét

\(\displaystyle m=A\,\varrho(25~^\circ{\rm C})\cdot 3{,}30~{\rm m}\)

módon számíthatjuk ki. Ez az érték megegyezik a \(\displaystyle T\) hőmérsékleten mérhető \(\displaystyle \varrho(T)\) sűrűségből számolható

\(\displaystyle m=A\,\varrho(T)\cdot 3{,}295~{\rm m}\)

tömeggel. Ezek szerint a lehűlt víz sűrűsége:

\(\displaystyle \varrho(T)= \frac{3{,}30}{3{,}295}\cdot 997{,}1~\frac{\rm kg}{\rm m^3}= 998{,}6~\frac{\rm kg}{\rm m^3}.\)

Feladatunk tehát az, hogy megkeressük, milyen hőmérsékleten egyezik meg a víz sűrűsége a fenti értékkel. A Négyjegyű függvénytáblázatokból interpolálással kikövetkeztethető, hogy \(\displaystyle T\approx 18^\circ\)C. Pontosabb értéket is kaphatunk az internetes vízsűrűség-kalkulátorokkal (lásd pl. www.engineeringtoolbox.com/water-density-specific-weight-d595.html) .

A Pécsi-tó vízszintje tehát akkor csökken fél centiméterrel, ha a tó vize kb. 18 fokosra, vagyis kb. \(\displaystyle 7^\circ\)C-kal hűl le.

Megjegyzés. Megpróbálhatjuk a hőmérsékletváltozás nagyságát a víz hőtágulási együtthatójának felhasználásával meghatározni. Ez azonban nem túl pontos módszer, mert víznél a hőtágulási együttható számottevően függ a hőmérséklettől, azaz a térfogatváltozás és a hőmérséklet-változás nem áll egyenes arányban egymással.

A víz térfogati hőtágulási együtthatója \(\displaystyle 25~^\circ\)C-on \(\displaystyle \beta=0{,}25\cdot 10^{-3}~{\rm K}^{-1}\). (Vigyázat: a Négyjegyű függvénytáblázatokban megtalálható érték nem erre a hőfokra vonatkozik.) A helyes értékkel számolva 6 fokos, a hibás adattal számolva 12 fokos lehűlésre lenne szükség. (Természetesen – ha egyébként helyes a megoldás – bármelyik hőtágulási együtthatóval kiszámított eredményt teljes értékűnek fogadjuk el. – A Szerk.)

Statistics:

94 students sent a solution.
4 points:	Antal Csenge, Barta Gergely, Beke Zsolt, Bognár 171 András Károly, Brilli Fabiano, Csonka Illés, Dékány Csaba, Dobre Zsombor, Fonyi Máté Sándor, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Jánosik Máté, Kelecsényi Levente , Kertész Balázs, Klepáček László, Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Lovas Márton, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Sallai Anita, Sallai Péter, Schmercz Blanka, Strinyi Péter, Sulok Yahyaa, Surányi Blanka, Szabó Ákos, Szabó Márton, Szirmai Dénes, Szoboszlai Szilveszter, Varga Vázsony.
3 points:	16 students.
2 points:	19 students.
1 point:	6 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020