Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5254. (October 2020)

P. 5254. One mole of air initially at standard conditions is compressed isothermally to half of its initial volume and then it is allowed to expand adiabatically to its original volume.

\(\displaystyle a)\) What is the total work done on the gas during the process?

\(\displaystyle b)\) How much heat is released by the gas?

\(\displaystyle c)\) What is the change in the internal energy of the gas?

\(\displaystyle d)\) What is the final temperature of the gas?

(4 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A folyamat a \(\displaystyle p-V\) diagramon az ábrán látható módon szemléltethető.

A megoldás során felhasználjuk a hőtan I. főtételét:

\(\displaystyle Q+W=\Delta E,\)

ahol \(\displaystyle Q\) a gáz által felvett hő, \(\displaystyle W\) a gázon végzett munka, \(\displaystyle \Delta E\) pedig a belső energia megváltozása, valamint a

\(\displaystyle pV=nRT \qquad \text{és}\qquad E=\frac{f}{2}nRT=\frac{f}{2}pV\)

állapotegyenleteket.

Esetünkben (normál állapotú levegőre) \(\displaystyle n=1\) és \(\displaystyle f=5\), a fajhőhányados \(\displaystyle \kappa=\frac{f+2}{f}=1{,}4\), továbbá

\(\displaystyle p_0V_0=nRT_0=1~\text{mol}\cdot 8{,}31~\frac{\rm J}{\rm mol\,K}\cdot 273{,}1 ~{\rm K}=2{,}27~\rm kJ.\)

Az \(\displaystyle A\rightarrow B\) folyamat izotermikus, így \(\displaystyle \Delta E=0\), továbbá ebben a folyamatban a gázon végzett munka (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok 140. oldalát)

\(\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\ln 2\, p_0V_0=1{,}57~\rm kJ.\)

A gáz által felvett hő:

\(\displaystyle Q_{A\rightarrow B}=-W_{A\rightarrow B}=-1{,}57~\rm kJ,\)

vagyis a gáz 1,57 kJ hőt ad le.

A \(\displaystyle B\rightarrow C\) folyamat adiabatikus, tehát \(\displaystyle Q_{B\rightarrow C}\). Az adiabatikus állapotegyenlet szerint

\(\displaystyle pV^\kappa=\text{állandó}=2p_0\left(\frac{V_0}2\right)^\kappa,\)

tehát

\(\displaystyle p_C=p_02^{ -0{,}4}=0{,}758~p_0.\)

A belső energia megváltozása ebben a részfolyamatban:

\(\displaystyle \Delta E_{B\rightarrow C}=E_C-E_B=\frac{5}{2}\left(p_CV_0- p_0V_0)\right)=\frac{5}{2}p_0V_0\left(2^{-0{,}4}-1\right)=-0{,}605\,p_0V_0=-1{,}37~\rm kJ,\)

és ugyanennyi a gázon végzett munka:

\(\displaystyle W_{B\rightarrow C}=-1{,}37~\rm kJ.\)

\(\displaystyle a)\) A gázon végzett összes munka:

\(\displaystyle W_{A\rightarrow B\rightarrow C}=W_{A\rightarrow B}+W_{B\rightarrow C}=0{,}20~\rm kJ.\)

\(\displaystyle b)\) A gáz által leadott összes hő:

\(\displaystyle Q^{(\rm leadott)}=-Q_{A\rightarrow B}=1{,}57~\rm kJ.\)

\(\displaystyle c)\) A belső energia változása a folyamatban:

\(\displaystyle \Delta E_{A\rightarrow B\rightarrow C}=E_C-E_A=\frac{5}{2}\left(p_CV_0- p_0V_0\right)=\frac{5}{2}p_0V_0\left(2^{-0{,}4}-1 \right)=-1{,}37~\rm kJ.\)

\(\displaystyle d)\) A végállapot hőmérséklete a

\(\displaystyle p_CV_0=nRT_C\)

állapotegyenletből számítható ki:

\(\displaystyle T_C=\frac{0{,}758~p_0 V_0}{nR}=0{,}758\,T_0=0{,}758\cdot 273~{\rm K}=207~{\rm K}=-66~^\circ\rm C.\)


Statistics:

57 students sent a solution.
4 points:Beke Zsolt, Dóra Márton, Fonyi Máté Sándor, Koleszár Benedek, Koszta Benedek, Könye Sólyom, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Németh Kristóf, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
3 points: Bagu Bálint, Fekete András Albert, Gurzó József, Hegymegi Balázs, Horváth 999 Anikó, Mozolai Bende Bruno, Nagy Bianka , Nemeskéri Dániel, Páhán Anita Dalma, Sallai Péter, Szabó Ákos, Szoboszlai Szilveszter, Török 111 László.
2 points:13 students.
1 point:12 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020