Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5255. feladat (2020. október)

P. 5255. Egy igen hosszú, \(\displaystyle m=10\) g tömegű, egyenes szigetelőszál középpontja felett, attól \(\displaystyle d =5\) cm-re egy \(\displaystyle Q = 3\cdot 10^{-7}\) C töltésű, pontszerű test van rögzítve. A szigetelőszálat is rögzítjük, majd egyenletes töltéseloszlással \(\displaystyle \sigma =-2\cdot 10^{-6}\) C/m lineáris töltéssűrűséggel feltöltjük. Mekkora gyorsulással indul el a szál, ha rögzítését lökésmentesen feloldjuk?

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.


Megoldás. A szál rögzítésének megszűnte után a rá ható elektrosztatikus erő és a nehézségi erő eredője által megszabva mozog. A nehézségi erő függőlegesen lefelé, az elektrosztatikus erő – az ellentétes előjelű töltések miatt – függőlegesen felfelé hat.

Meg kell határozni a ponttöltés radiális terében a szigetelő szálra ható eredő elektrosztatikus erőt. Ennek az inhomogén, radiális térnek a hatását nehéz lenne kiszámítani, azonban a kölcsönhatás törvénye szerint, ha meghatározzuk a szál által a rögzített ponttöltésre ható erő nagyságát, ezzel megkapjuk a szálra ható, ponttöltés által kifejtett elektrosztatikus erő nagyságát is. Ehhez mindössze a szál keltette (axiális) mező \(\displaystyle E\) térerősségét kell meghatároznunk a \(\displaystyle Q\) ponttöltés helyén, és ekkor a keresett erőnagyság egyszerűen \(\displaystyle F = EQ\).

A szál eletromos tere a Gauss-féle fluxustörvény (Maxwell I. törvénye) alapján számítható ki. A szálat egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, \(\displaystyle d\) sugarú, a szállal azonos tengelyű (koaxiális) hengerrel körülvéve a kimenő flusus \(\displaystyle 2\pi d\ell E\), a szálon lévő töltés pedig \(\displaystyle \sigma \ell\). Gauss törvénye szerint

\(\displaystyle 2\pi d\ell E=\frac{\sigma\ell}{\varepsilon_0},\)

vagyis

\(\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{d}=\frac{2k\sigma}{d}.\)

(\(\displaystyle k\) a Coulomb-törvény állandója: \(\displaystyle 9\cdot10^9~\frac{\rm N\,m^2}{\rm C^2}\).)

A \(\displaystyle Q\) töltésű test \(\displaystyle F=\vert Q\vert\cdot E\) nagyságú, felfelé ható erőt fejt ki a szálra. Ez a lefelé irányuló, \(\displaystyle mg\) nagyságú nehézségi erővel együtt a szálat

\(\displaystyle a=\frac{F-mg}{m}=11{,}8~\frac{\rm m}{\rm s^2}\)

gyorsulással indítja el függőlegesen felfelé.


Statisztika:

A P. 5255. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai