Problem P. 5255. (October 2020)

P. 5255. A point-like object of charge \(\displaystyle Q=3\cdot10^{-7}\) C is fixed above a very long piece of insulating thread of mass \(\displaystyle m=10\) g, \(\displaystyle d=5\) cm above the midpoint of the thread. The insulating thread is also fixed and then charged uniformly, to a linear charge density of \(\displaystyle \sigma =-2\cdot10^{-6}\) C/m. At what acceleration does the thread begin to move if it is released without any initial speed?

(5 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szál rögzítésének megszűnte után a rá ható elektrosztatikus erő és a nehézségi erő eredője által megszabva mozog. A nehézségi erő függőlegesen lefelé, az elektrosztatikus erő – az ellentétes előjelű töltések miatt – függőlegesen felfelé hat.

Meg kell határozni a ponttöltés radiális terében a szigetelő szálra ható eredő elektrosztatikus erőt. Ennek az inhomogén, radiális térnek a hatását nehéz lenne kiszámítani, azonban a kölcsönhatás törvénye szerint, ha meghatározzuk a szál által a rögzített ponttöltésre ható erő nagyságát, ezzel megkapjuk a szálra ható, ponttöltés által kifejtett elektrosztatikus erő nagyságát is. Ehhez mindössze a szál keltette (axiális) mező \(\displaystyle E\) térerősségét kell meghatároznunk a \(\displaystyle Q\) ponttöltés helyén, és ekkor a keresett erőnagyság egyszerűen \(\displaystyle F = EQ\).

A szál eletromos tere a Gauss-féle fluxustörvény (Maxwell I. törvénye) alapján számítható ki. A szálat egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, \(\displaystyle d\) sugarú, a szállal azonos tengelyű (koaxiális) hengerrel körülvéve a kimenő fluxus \(\displaystyle 2\pi d\ell E\), a szálon lévő töltés pedig \(\displaystyle \sigma \ell\). Gauss törvénye szerint

\(\displaystyle 2\pi d\ell E=\frac{\sigma\ell}{\varepsilon_0},\)

vagyis

\(\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{d}=\frac{2k\sigma}{d}.\)

(\(\displaystyle k\) a Coulomb-törvény állandója: \(\displaystyle 9\cdot10^9~\frac{\rm N\,m^2}{\rm C^2}\).)

A \(\displaystyle Q\) töltésű test \(\displaystyle F=\vert Q\vert\cdot E\) nagyságú, felfelé ható erőt fejt ki a szálra. Ez a lefelé irányuló, \(\displaystyle mg\) nagyságú nehézségi erővel együtt a szálat

\(\displaystyle a=\frac{F-mg}{m}=11{,}8~\frac{\rm m}{\rm s^2}\)

gyorsulással indítja el függőlegesen felfelé.

Statistics:

49 students sent a solution.
5 points:	Bonifert Balázs, Bubics Gergely Dániel, Fekete András Albert, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Somlán Gellért, Szabó Márton, Takács Bendegúz, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Barna Benedek, Boda Benedek János, Dékány Csaba, Dobre Zsombor, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Horváth Antal, Kozák Gergely, Kozaróczy Csaba, Mihalik Bálint, Molnár 123 Barnabás, Mozolai Bende Bruno, Nagyváradi Dániel, Nemes Péter Alex, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Sas 202 Mór, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Strinyi Péter, Szirmai Dénes, Téglás Panna, Tóth Ábel, Török Dorka.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020