Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5256. feladat (2020. október)

P. 5256. Hogyan változik meg egy síkkondenzátor kapacitása, ha a fegyverzetek közötti térrész két felét két különböző dielektromos állandójú, homogén, elektromosan szigetelő anyaggal töltjük ki, és a két réteget elválasztó felület

\(\displaystyle a)\) a fegyverzetekre merőleges sík;

\(\displaystyle b)\) a fegyverzetekkel párhuzamos sík?

Közli: Wiedemann László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a két különböző anyag relatív dielektromos állandója \(\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(1)}\) és \(\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(2)}\), a kondenzátorral azonos méretű, de ,,üres'' (tehát a lemezek között szigetelő anyagot nem tartalmazó) kondenzátor kapacitása \(\displaystyle C\).

\(\displaystyle a)\) Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekre merőlegesen két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása \(\displaystyle \frac12C\) lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk

\(\displaystyle C_1=\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \frac{C}{2}, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=\varepsilon_\text{rel}^{(2)} \frac{C}{2}\)

lesz. Ezen kondenzátorok párhuzamos kapcsolású eredője

\(\displaystyle C_{(a)}=C_1+C_2=\frac{ \varepsilon_\text{rel}^{(1)}+\varepsilon_\text{rel}^{(2)}}{2}\,C.\)

A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók számtani közepének megfelelő arányban növekszik.

\(\displaystyle b)\) Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekkel párhuzamosan két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása \(\displaystyle 2C\) lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk

\(\displaystyle C_1=2\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \,C, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=2\varepsilon_\text{rel}^{(2)}\,C\)

lesz. Ezen kondenzátorok soros kapcsolású eredője:

\(\displaystyle C_{(b)}=\frac{C_1 C_2}{C_1+ C_2} =\frac {2\varepsilon_\text{rel}^{(1)}\cdot \varepsilon_\text{rel}^2}{\varepsilon_\text{rel}^{(1)}+ \varepsilon_\text{rel}^2}\,C.\)

A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók harmonikus közepének megfelelő arányban növekszik.

Tekintve, hogy a harmonikus közép kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép, állíthatjuk, hogy \(\displaystyle C_{(b)}\le C_{(a)}\).


Statisztika:

A P. 5256. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai