Problem P. 5256. (October 2020)

P. 5256. How does the capacitance of a parallel plate capacitor change if the space between its plates is filled with two types of uniform, insulating material of two different dielectric constants, and the surface which separates them is

\(\displaystyle a)\) perpendicular to the plates;

\(\displaystyle b)\) parallel to the plates of the condenser?

(4 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a két különböző anyag relatív dielektromos állandója \(\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(1)}\) és \(\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(2)}\), a kondenzátorral azonos méretű, de ,,üres'' (tehát a lemezek között szigetelő anyagot nem tartalmazó) kondenzátor kapacitása \(\displaystyle C\).

\(\displaystyle a)\) Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekre merőlegesen két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása \(\displaystyle \frac12C\) lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk

\(\displaystyle C_1=\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \frac{C}{2}, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=\varepsilon_\text{rel}^{(2)} \frac{C}{2}\)

lesz. Ezen kondenzátorok párhuzamos kapcsolású eredője

\(\displaystyle C_{(a)}=C_1+C_2=\frac{ \varepsilon_\text{rel}^{(1)}+\varepsilon_\text{rel}^{(2)}}{2}\,C.\)

A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók számtani közepének megfelelő arányban növekszik.

\(\displaystyle b)\) Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekkel párhuzamosan két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása \(\displaystyle 2C\) lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk

\(\displaystyle C_1=2\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \,C, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=2\varepsilon_\text{rel}^{(2)}\,C\)

lesz. Ezen kondenzátorok soros kapcsolású eredője:

\(\displaystyle C_{(b)}=\frac{C_1 C_2}{C_1+ C_2} =\frac {2\varepsilon_\text{rel}^{(1)}\cdot \varepsilon_\text{rel}^2}{\varepsilon_\text{rel}^{(1)}+ \varepsilon_\text{rel}^2}\,C.\)

A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók harmonikus közepének megfelelő arányban növekszik.

Tekintve, hogy a harmonikus közép kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép, állíthatjuk, hogy \(\displaystyle C_{(b)}\le C_{(a)}\).

Statistics:

35 students sent a solution.
4 points:	Bubics Gergely Dániel, Gurzó József, Juhász Júlia, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel.
3 points:	Beke Bálint, Csonka Illés, Fonyi Máté Sándor, Gál Virág , Hauber Henrik, Papp Marcell Miklós, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Szirmai Dénes.
2 points:	3 students.
1 point:	6 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020