Problem P. 5257. (October 2020)

P. 5257. Roland Eötvös demonstrated the law named after his teacher at Koenigsberg – Franz Ernst Neumann (1798–1895) – as follows: he stretched two long pieces of metal wires in a room horizontally and parallel to each other at a high position and connected their ends on one side through a sensitive galvanometer. To the other ends a piece of moveable metal rod was connected perpendicularly to the wires. Then he slid the rod along the wires such that it remained perpendicular to the wires, whose distance was 2 m. According to the measurements at that time the angle between direction of the magnetic field of the Earth and the horizontal was \(\displaystyle 62^\circ\). The horizontal component of the magnetic field was measured to be 0.2 oersted, in the CGS system of units used at that time.

At what speed did Eötvös pull the rod if the reading on the galvanometer was 80 \(\displaystyle \mu\)V?

(4 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Neumann-törvény szerint \(\displaystyle B\) indukciójú mágneses mezőben \(\displaystyle v\) sebességgel mozgó, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú vezetőben \(\displaystyle U=B\ell v\) feszültség indukálódik, ha a mágneses indukcióvektor iránya, a sebesség iránya és a vezeték egymásra páronként merőleges. A feladatban szereplő kísérletben a fémrúd iránya és a mozgás iránya merőleges egymásra és mindkettő vízszintes. Az indukált feszültség kiszámításánál a mágneses indukcióvektornak csak a függőleges komponensét (\(\displaystyle B_1\)) kell figyelembe venni.

A keresett sebesség: \(\displaystyle v=\frac{U}{\ell B_1}.\) Ennek kiszámításához meg kell határoznunk \(\displaystyle B_1\) nagyságát a ma használt SI-egységrendszerben (vagyis teslában).

A mágneses térerősség vízszintes komponense 0,2 oersted, a függőleges összetevő nagysága tehát

\(\displaystyle H_1=\tg 62^\circ\cdot 0{,}2~\text{Oe}=0{,}376~\text{Oe}.\)

Ugyanekkora nagyságú a mágneses indukció gauss (G) egységekben megadott értéke (mert CGS egységrendszerben a vákuum permeabilitását 1-nek választották). Mivel

\(\displaystyle 1~{\rm G}=10^{-4}~\rm T,\)

a földi mágneses indukcióvektor függőleges összetevője a kísérlet elvégzésekor \(\displaystyle B_1=3{,}76\cdot 10^{-5}~\rm T\) volt. Ezek szerint Eötvös Loránd mozgásának sebessége a kísérlet bemutatása közben

\(\displaystyle v=\frac{U}{\ell B_1}=\frac{80\cdot 10^{-6}~{\rm V}}{2~{\rm m}\cdot 3{,}76\cdot 10^{-5}~{\rm T}}=1{,}06~\frac{\rm m}{\rm s}\)

lehetett.

Megjegyzés. Az oersted \(\displaystyle \rightarrow\) tesla átváltást a Négyjegyű függvénytáblázatokban található, SI-mértékegységrendszeren kívüli mértékegységek táblázat alapján is elvégezhetjük. Eszerint \(\displaystyle 1~{\rm Oe}=1000/4\pi)~\)A/m, amit megszorozva a vákuumpermeabilitás \(\displaystyle \mu_0=4\pi\cdot10^{-7}~\rm V\cdot s/(A\cdot m)\) értékével \(\displaystyle 10^{-4}\) T-t kapunk.

Statistics:

20 students sent a solution.
4 points:	Beke Zsolt, Dékány Csaba, Dóra Márton, Gurzó József, Jánosik Máté, Mozolai Bende Bruno, Németh Kristóf, Szabó Márton.
3 points:	Albert Máté, Barna Benedek, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Ruzsa Bence, Tanner Norman, Tóth Ábel.
2 points:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020