Problem P. 5258. (October 2020)

P. 5258. We would like to create a sharp image of the filament of an incandescent lamp with a converging lens exactly below the lamp on a white sheet of paper lying on the tabletop. At least how many dioptres is the power of the lens if the paper is 40 cm below the lamp?

(4 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Ha a távolságokat méterben mérjük, akkor

\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=D,\qquad \text{azaz}\qquad \frac{d}{kt}=D,\)

ahol \(\displaystyle d=k+t\) és \(\displaystyle D\) a lencse dioptriája. Mivel \(\displaystyle d\) adott, a számtani és a mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle kt\) akkor a legnagyobb, amikor

\(\displaystyle k=t=d/2,\qquad \text{tehát}\qquad D_{\rm min}=\frac{4}{d} =10~\rm m^{-1}.\)

II. megoldás. A leképezési törvény szerint

\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f},\)

vagyis

\(\displaystyle t=\frac{kf}{k-f}.\)

Tudjuk, hogy (a távolságokat méter egységekben mérve)

\(\displaystyle t+k\equiv\frac{k^2}{k-f}=0{,}4.\)

Ismertnek feltételezve az \(\displaystyle f\) fókuszttávolságot, a \(\displaystyle k\) képtávolságot a

\(\displaystyle k^2-0{,}4\,k+0{,}4\,f=0\)

másodfokú egyenlet gyökeként kaphatjuk meg. Ilyen (valós) gyök csak akkor létezik, ha az egyenlet diszkriminánsa nem negatív:

\(\displaystyle 0{,}4^2\ge4\cdot 0{,}4\,f,\)

vagyis

\(\displaystyle f\le \frac{1}{10}, \qquad \text{tehát}\qquad D=\frac{1}{f}\ge 10.\)

Ezek szerint a lencse legalább 10 dioptriás kell legyen.

Statistics:

43 students sent a solution.
4 points:	Barta Gergely, Bognár 171 András Károly, Dóra Márton, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Korom Lili, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szoboszlai Szilveszter, Takács Dóra, Téglás Panna, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony.
3 points:	Bonifert Balázs, Klepáček László, Kovács Kinga, Répási Tamás, Szabó Márton, Tanner Norman.
2 points:	2 students.
0 point:	15 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020