Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5260. (October 2020)

P. 5260. A piece of thread runs around a fixed cylinder having a horizontal axis. If an object of mass \(\displaystyle m\) is attached to the left end of the rope and another object of mass \(\displaystyle 3m\) is attached to the right end of the rope, the objects, which were released from rest, move with an acceleration of 2 m/s\(\displaystyle ^2\).

\(\displaystyle a)\) What is the acceleration of the objects if the mass of the bodies at both sides is first doubled, and then tripled?

\(\displaystyle b)\) What is the acceleration of the objects if on the right side the object of \(\displaystyle 3m\) remains, but to the left end of the rope an object of mass \(\displaystyle 8m\) is attached?

\(\displaystyle c)\) How should the mass of the object at the left be changed if on the right the object of mass \(\displaystyle 3m\) is not changed and the system stays at rest after releasing the objects?

The rope is very light, and the coefficients of static and kinetic friction between the rope and the cylinder are the same.

(6 pont)

Deadline expired on November 16, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a testek tömegét megduplázzuk, akkor a helyzet olyan, mintha egymás mellett két azonos rendszer lenne, ha pedig háromszorosra növeljük a tömegeket, akkor három egymás melletti összeállításnak feleltethető meg a helyzet. Ebből az következik, hogy a testek gyorsulása ugyanakkora marad (2 m/s\(\displaystyle ^2\)), nem függ a tömegek nagyságától, hanem csak azok arányától.

\(\displaystyle b)\) Tovább folytatva a fenti gondolatmenetet, azt is megállapíthatjuk, hogy adott tömegarány esetén a fonáldarabokban ébredő erő, illetve a fonál és a henger közötti súrlódási erő aránya is állandó marad. Ezt a következő módon láthatjuk be: A fonál a rögzített hengerhez szorul, és emiatt súrlódik. A fonálban lévő feszítettség folytonosan változik, az egyes fonáldarabkák nem ugyanúgy szorulnak a csigához. Az egyes fonáldarabkákra ható súrlódási erő járulékok összeadódnak, és ezek eredményezik a teljes súrlódási erőt, ami a két oldalon megjelenő fonálerők különbsége (hiszen a fonál súlytalan). Ha az egyik oldalon valamiért megnő az erő, akkor a másik oldalon is meg kell növekednie.

Felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a kétoldali fonálerő között. Azt a gondolatot el kell vetnünk, hogy a két erő különbsége állandó, mivel nagyobb erők esetén a fonál jobban hozzászorul a rögzített hengerhez. Mivel a súrlódási erőt (súrlódási együttható szorozva a nyomóerővel) lineáris erőtörvény határozza meg, illetve a newtoni mechanikában érvényesül a szuperpozíció elve, ezért azt állapíthatjuk meg, hogy ahányszorosára növekszik az egyik oldalon a fonálerő, annyiszorosára nő a fonálerő a másik oldalon. Ezt úgy is kiokoskodhatjuk, hogy a nagyobb fonálerőt úgy képzeljük el, mintha egymás mellé fektetnénk – párhuzamosan – ugyanolyan fonalakat, ugyanakkora feszítettséggel. (Ilyen gondolattal találkozhatunk az egymással párhuzamosan kapcsolt rugók esetében is.)

Számítsuk ki a fonálerőket a kiinduló helyzetben (az egyszerűség kedvéért \(\displaystyle g\approx 10~ \rm m/s^2\)-tel számolva).

A bal oldalon

\(\displaystyle K_\text{bal}-mg=ma, \qquad\rightarrow\qquad K_\text{bal}=m(g+a)=m(12~\rm m/s^2 ).\)

\(\displaystyle 3mg-K_\text{jobb} =3ma, \qquad\rightarrow\qquad K_\text{jobb}=3m(g-a)=m(24~\rm m/s^2 ).\)

A jobb oldali fonálerő tehát éppen a kétszerese a bal oldalinak (függetlenül attól, hogy mekkorák a tömegek). Megállapíthatjuk tehát, hogy a henger két oldalán a fonálerők aránya mindig 2, és azon az oldalon nagyobb az erő, ahol lefelé gyorsul a test. Mindezek alapján a következő két egyenletet írhatjuk fel, amikor \(\displaystyle 8m\) és \(\displaystyle 3m\) tömegeket rögzítettünk a két fonáldarabra. A bal oldalra:

\(\displaystyle 8mg-2K=\,8ma,\)

illetve a jobb oldalra:

\(\displaystyle K-3mg=3\,ma.\)

Ha az első egyenlethez hozzáadjuk a második egyenlet kétszeresét, akkor a fonálerők kiesnek, és a következő eredményre juthatunk:

\(\displaystyle 2mg=14\,ma, \qquad\rightarrow\qquad a=\frac17 g=\frac{10}7~ \rm m/s^2 .\)

\(\displaystyle c)\) Kihasználjuk, hogy a csúszási és a tapadási súrlódási együttható megegyezik. Ha a testek nem mozognak, akkor a fonálerők megegyeznek a testekre ható nehézségi erők nagyságával. Határesetben a két oldalon a fonálerők aránya vagy 2, vagy 1/2. Ennek megfelelően akkor marad nyugalomban a rendszer, ha a bal oldalra akasztott \(\displaystyle m_\text{bal}\) tömegre a következő egyenlőtlenség teljesül:

\(\displaystyle \frac32 m<m_\text{bal}<6m.\)

Egyenlőség esetén az egyensúly instabil, tehát a legkisebb zavar esetén megindulnak a testek, és a továbbiakban egyenletesen mozognak.


Statistics:

42 students sent a solution.
6 points:Fekete András Albert, Kertész Balázs, Toronyi András, Varga Vázsony.
5 points:Bonifert Balázs, Fonyi Máté Sándor, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna.
4 points:7 students.
3 points:2 students.
2 points:10 students.
1 point:11 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2020