Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5264. feladat (2020. november)

P. 5264. Egy versenyautó 60 m sugarú, kör alakú tesztpályán álló helyzetből indul. Érintőleges gyorsulása a mozgás első négy másodpercében állandó, nagysága \(\displaystyle 6~\mathrm{m/s}^2\).

\(\displaystyle a)\) Határozzuk meg és ábrázoljuk vázlatosan az idő függvényében, hogy mekkora szögsebességgel forog az autó gyorsulásvektora a menetirányhoz képest!

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő múlva lesz ez a szögsebesség a legnagyobb? Mekkora lesz ez a maximális szögsebesség?

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes, Szlovákia

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) SI-egységeket használva:

– Az autó érintőleges gyorsulása \(\displaystyle a_1=6\);

– a pálya sugara: \(\displaystyle R=60\);

– az autó sebessége \(\displaystyle t\) idő elteltével \(\displaystyle v=a_1t=6t\);

– az autó centripetális gyorsulása: \(\displaystyle a_2=\frac{v^2}{R}=0{,}6\,t^2\). Az autó gyorsulásvektora a kör érintőjével

\(\displaystyle \alpha(t)=\arctg\frac{a_2}{a_1}=\arctg(0{,}1\,t^2)\)

szöget zár be. Ennek a szögnek az egységnyi időre vonatkozó megváltozása a keresett

\(\displaystyle \omega(t)= \frac{\Delta\alpha}{\Delta t} \)

szögsebesség.

Számítsuk ki, hogy mennyit változik \(\displaystyle \tg\alpha\) egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt, ha eközben az \(\displaystyle \alpha\) szög \(\displaystyle \Delta\alpha\)-val nagyobb lesz. Mivel \(\displaystyle \tg\alpha=0{,}1\,t^2\), fennáll, hogy

\(\displaystyle \tg(\alpha+\Delta\alpha)-\tg\alpha=0{,}1 (t+\Delta t)^2-0{,}1 t^2.\)

Kicsiny változások esetén érvényes

\(\displaystyle \tg(\Delta\alpha)\approx \Delta\alpha\qquad \text{és}\qquad \Delta t\ll t.\)

Trigonometriai és algebrai átalakítások után kapjuk, hogy ebben a közelítésben

\(\displaystyle \frac{\tg\alpha+\Delta\alpha}{1-\Delta\alpha\cdot \tg\alpha}-\tg\alpha=0{,}2t\,\Delta t+0{,}1(\Delta t)^2,\)

azaz

\(\displaystyle \Delta\alpha\left(1+\tg^2\alpha\right)=\Delta t(0{,}2t+0{,}1t\,\Delta t)(1-\Delta\alpha\,\tg\alpha).\)

Innen kapjuk, hogy a keresett szögsebesség:

\(\displaystyle \omega(t)\approx \frac{\Delta\alpha}{\Delta t}= \frac{0{,}2\,t+0{,}1\Delta t}{1+\tg^2\alpha} (1-\Delta\alpha\cdot\tg\alpha) =\frac{0{,}2\,t}{1+0{,}01\,t^4}.\)

Ha ábrázoljuk az \(\displaystyle \omega(t)\) függvényt, a grafikonról leolvashatjuk, hogy a szögsebességnek \(\displaystyle t=2{,}4~\)s közelében maximuma van, és hogy a szögsebesség legnagyobb értéke \(\displaystyle \omega_\text{max}=3{,}6~\rm s^{-1}\).

Megjegytés. \(\displaystyle \omega(t)\) szélsőértékét deriválással is meghatározhatjuk: A differenciálhányados \(\displaystyle t_0=1/\sqrt[4]{100/3}~{\rm s}\approx 2{,}4~{\rm s}\) idő elteltével lesz nulla, és \(\displaystyle \omega_\text{max}=\omega(t_0)\approx 3{,}6~\rm s^{-1}\).


Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Németh Kristóf, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Simon László Bence, Somlán Gellért, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Molnár 123 Barnabás, Toronyi András.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi fizika feladatai