Problem P. 5268. (November 2020)

P. 5268. Two pieces of copper wires are soldered together, such that the two pieces form semicircles and together the wires form a circle of radius \(\displaystyle r=4\) cm. The diameters of the wires are \(\displaystyle d_1 = 3\) mm and \(\displaystyle d_2 = 1.5\) mm. To one of the solder points of the closed circle (A) and to the midpoint of the semicircle made of thinner wire (C) very long straight wires are connected (one to each point). Determine the magnetic induction at the centre of the circular wire, when the amperage in the straight wires is \(\displaystyle I = 25\) A.

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a vékonyabb huzal negyedkörének ellenállását \(\displaystyle 2R\)-rel. A vastagabb huzal keresztmetszete négyszer nagyobb, mint a vékonyabbé, hosszegységre jutó ellenállása tehát négyszer kisebb. A félkör hossza kétszerese a negyedkörének, az ellenállása tehát \(\displaystyle 2\cdot \tfrac14\cdot 2R=R\).

Az \(\displaystyle I=25\) A erősségű áram \(\displaystyle 2:3\) arányban oszlik meg a \(\displaystyle 3R\) ellenállású \(\displaystyle CBA\) ág és a \(\displaystyle 2R\) ellenállású \(\displaystyle CA\) ág között. A hosszabb vezetékdarabban tehát \(\displaystyle \tfrac25 I=10\) A, a rövidebb darabban pedig \(\displaystyle \tfrac35 I=15\) A erősségű áram folyik.

Egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle I\) erősségű árammal átjárt körvezető középpontjában \(\displaystyle B=\mu_0\frac{I}{2r}\) a mágneses indukció, a körívek keltette mágneses indukció nagysága az ívek hosszával arányosan kevesebb. Az egyik ágban folyó áram tehát

\(\displaystyle B_1= \mu_0\frac{I}{2r}\cdot \frac34\cdot \frac25,\)

a másik pedig

\(\displaystyle B_2= \mu_0\frac{I}{2r}\cdot \frac14\cdot\frac35 \)

nagyságú indukcióvektort hoz létre. Ezek egymással ellentétes irányúak, így az eredő nagysága

\(\displaystyle B=B_1-B_2=\frac3{40}\,\frac{\mu_0 I}{r}=5{,}89\cdot 10^{-5}~\rm T.\)

Statistics:

25 students sent a solution.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Beke Zsolt, Biebel Botond, Fonyi Máté Sándor, Horváth 999 Anikó, Kozák Gergely, Lévay Kristóf, Ludányi Levente, Mozolai Bende Bruno, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel.
3 points:	Gál Virág , Gurzó József, Hauber Henrik, Magyar Gábor Balázs, Nagyváradi Dániel, Puskás Attila, Tuba Balázs.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2020