Problem P. 5272. (December 2020)

P. 5272. The four inner cogwheels shown in the figure are moving round, whilst the outer one is at rest. (The motion of the cogwheels can be seen on the homepage.)

What are the values of the number of turns of the cogwheels labelled with the letters \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\) if the smallest cogwheel labelled with \(\displaystyle D\) completes a full revolution in each second?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a külső (álló) fogaskerék fogainak száma \(\displaystyle n_0=37\), a belső fogaskerekeké pedig

\(\displaystyle n_A=19; \qquad n_B=13; \qquad n_C=11; \qquad n_D=7.\)

Gondolatban egyenesítsük ki a 37 fogú külső kereket, így egy 37 fogú fogaslécet kapunk, majd ezen vezessük végig az \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle D\) jelű fogaskerekeket. Megállapíthatjuk, hogy ezek rendre \(\displaystyle \tfrac{37}{19}\), \(\displaystyle \tfrac{37}{13}\) és \(\displaystyle \tfrac{37}{7}\) fordulatot végeznek. Ha visszatérünk a fogaslécről az eredei (kör alakú) fogaskerékre, akkor a mozgó kerekek körülfordulásának száma a fenti értékeknél minden esetben eggyel kisebb lesz. Ezt úgy láthatjuk be, ha gondolatban az álló fogaslécen lépünk egy foggal előrébb (a görgetett kerékkel együtt, annak mozgásirányába), majd a fogaslécen annyit hajlítunk visszafelé, hogy végül kialakuljon a teljes kör. A fogasléc visszahajlításakor a rajta lévő fogaskerék is visszafelé fordul el. A sok kis visszafordulás végül egy teljes körré áll össze, ezért kell egyet levonnunk az egyenes fogaslécnél kiszámolt értékből.

Tehát miközben a belső fogaskerekek először visszatérnek eredeti helyzetükbe, az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) kerekek rendre

\(\displaystyle \frac{37}{19}-1=\frac{18}{19};\qquad \frac{37}{13}-1=\frac{24}{13}; \qquad \frac{37}{7}-1=\frac{30}{7}\)

fordulatot végeznek. Ha a legkisebb fogaskerék másodpercenként egyet fordul, akkor a teljes körülforduláshoz 30/7 másodperc szükséges. Így megkaphatjuk az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) jelű fogaskerekek fordulatszámát:

\(\displaystyle f_A=\frac{ {18}/{19}} { {30}/{7}} ~{\rm s}^{-1}=\frac{21}{95}~{\rm s}^{-1}=0{,}221~{\rm s}^{-1}; \qquad f_B=\frac{ {24}/{13}} { {30}/{7}}~{\rm s}^{-1}=\frac{28}{65}~{\rm s}^{-1}=0{,}431~{\rm s}^{-1}.\)

Hátra van még a 11 fogú, \(\displaystyle C\) jelű fogaskerék. Ezt ugyanolyan gyorsan (de visszafelé, a fogasléc folyamatos meggörbítésével megegyező irényba) hajtja mind a három másik kerék, ezért \(\displaystyle C\) fordulatszámát akár háromféleképpen is kiszámíthatjuk. Egy teljes körüljárás alatt a kerék körülfordulásainak száma:

\(\displaystyle \frac{37/19}{11/19}+1=\frac{37/13}{11/13}+1=\frac{37/7}{11/7}+1= \frac{37 }{11}+1=\frac{48}{11}.\)

Az előzőekhez hasonlóan végül a \(\displaystyle C\) jelű fogaskerék fordulatszáma:

\(\displaystyle f_C=\frac{ {48}/{11}} { {30}/{7}} ~{\rm s}^{-1}=\frac{56}{55}~{\rm s}^{-1}=1{,}018~{\rm s}^{-1},\)

forgásának iránya pedig a többiekével ellentétes.

II. megoldás. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a külső (álló) fogaskerék fogainak száma \(\displaystyle n_0=37\), a belső fogaskerekeké pedig

\(\displaystyle n_A=19; \qquad n_B=13; \qquad n_C=11; \qquad n_D=7.\)

Jelöljük a belső fogaskerekek (azok mozgó tengelyeinek) keringési fordulatszámát \(\displaystyle f_0\)-lal.

Üljünk bele egy olyan \(\displaystyle \cal K'\) koordináta-rendszerbe, amely együtt forog a tengelyekkel, vagyis a fordulatszáma az eredeti, az álló külső kerékhez rögzített \(\displaystyle \cal K\) koordináta-rendszerben éppen \(\displaystyle f_0\). Ebből a rendszerből nézve a négy belső fogaskerék tengelye áll, a külső kerék pedig \(\displaystyle f_0\) fordulatszámmal forog az óramutató járásával megegyező irányban.

A belső kerekek fordulatszáma a \(\displaystyle \cal K'\) rendszerben (a fogak számának arányában)

\(\displaystyle f'_A= \frac{37}{19}f_0; \qquad f'_B= \frac{37}{13}f_0; \qquad -f'_C= \frac{37}{19}\cdot \frac{19}{11}f_0= \frac{37}{13}\cdot\frac{13}{11}f_0= \frac{37}{7}\cdot\frac{7}{11}f_0=\frac{37}{11}f_0; \qquad f'_D= \frac{37}{7}f_0. \)

(\(\displaystyle f'_C\) képletében a negatív előjel azt fejezi ki, hogy ez a fogaskerék a másik hárommal ellentétes irányban forog.)

Az eredeti \(\displaystyle \cal K\) rendszerbe úgy térhetünk vissza, hogy a fordulatszámokból levonjuk a két rendszer egymáshoz képesti forgásának \(\displaystyle f_0\) fordulatszámát:

\(\displaystyle f_A=f'_A-f_0=\frac{18}{19}f_0; \quad f_B= f'_B-f_0=\frac{24}{13}f_0;\quad f_C=f'_C-f_0= -\frac{48}{11}f_0;\quad f_D=f'_D-f_0= \frac{30}{7}f_0.\)

Tudjuk, hogy

\(\displaystyle f_D=1~\rm s^{-1},\qquad \text{vagyis}\qquad f_0=\frac{7}{30}~\rm s^{-1}.\)

Innen következik, hogy a körbejáró fogaskerekek másodpercenkénti fordulatszáma

\(\displaystyle f_A=\frac{21}{95}\approx 0{,}22;\qquad f_B=\frac{28}{65}\approx 0{,}43;\qquad f_C=-\frac{56}{55}\approx -1{,}02.\)

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Fekete András Albert, Koleszár Benedek, Kozaróczy Csaba, Sas 202 Mór, Téglás Panna.
4 points:	Fey Dávid, Horváth Antal, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony.
3 points:	2 students.
2 points:	31 students.
1 point:	11 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2020