Problem P. 5275. (December 2020)

P. 5275. One of the fountains in city Kaposvár jets 1 cubic metre of water into the air to a height of 5 m in each minute.

\(\displaystyle a)\) What is the power of the electric motor if the efficiency of pumping is 75%?

\(\displaystyle b)\) At what speed does the water flow out of the nozzle?

\(\displaystyle c)\) What is the diameter of the water flowing out of the nozzle?

\(\displaystyle d)\) What is the diameter of the water at a height of 2.5 m?

Do not consider air-drag and that the water is separated to small drops.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) 60 másodperc alatt 1 m\(\displaystyle ^3\) vizet 5 méter magasba emelni

\(\displaystyle P_\text{hasznos}=\frac{1000~{\rm kg}\cdot 9{,}81~{\rm N/kg} \cdot 5~{\rm m}}{60~\rm s}=0{,}82~\rm kW\)

teljesítménnyel lehet. A villanymotor felvett teljesítménye tehát

\(\displaystyle P_\text{motor}=\frac{P_\text{hasznos}}{\eta}= \frac{0{,}82~{\rm kW}} {0{,}75}= 1{,}1~{\rm kW}.\)

\(\displaystyle b)\) A vízsugár akkor emelkedik 5 méter magasra, ha a kezdősebessége

\(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 5~{\rm m}\cdot 9{,}81~ {\rm m/s}^2}=9{,}9~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle c)\) Az \(\displaystyle A\) nagyságú keresztmetszeten \(\displaystyle v_0\) sebességgel kiáramló víz térfogata másodpercenként \(\displaystyle Av_0\):

\(\displaystyle \frac{1~\rm m^3}{60~\rm s}=A\cdot 9{,}9~\frac{\rm m}{\rm s},\)

ahonnan

\(\displaystyle A=\frac{d_0^2\pi}{4}=16{,}8~\rm cm^2,\)

vagyis a vízsugár (kezdeti) átmérője

\(\displaystyle d_0=2\sqrt{\frac{A}{\pi}}=4{,}6~\rm cm.\)

\(\displaystyle d)\) 2,5 méter magasságban egy adott tömegű vízdarabka mozgási energiája csak a fele a kezdeti értéknek, a víz áramlási sebessége tehát

\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{1}{2}}v_0=7{,}0~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

Az anyagmegmaradás törvénye szerint amilyen arányban csökken a vízsugár sebessége, ugyanolyan arányban növekszik a keresztmetszete. Másrészt a vízsugár átmérője a keresztmetszet négyzetgyökével arányos, így a kérdezett átmérő

\(\displaystyle d_1= \sqrt[4]{2}\cdot 4{,}6~\rm cm \approx 5{,}5~\rm cm.\)

Megjegyzés. A megfontolásaink során elhanyagoltuk az áramló ,,vízdarabkák'' sebességének vízszintes komponensét, pedig ilyen biztosan van, mert a lelassuló vízsugár fokozatosan kiszélesedik. Ugyancsak eltekintettünk a vízsugár (előbb vagy utóbb bekövetkező) cseppekre szakadásától, és nem törődtünk a felülről lefelé visszahulló vízcseppekkel sem. A vízsugár alsó részénél ez jó közelítés lehet, de a tetejénél (ahol a függőleges sebességkomponens nullává válik) biztosan nem alkalmazható.

Statistics:

77 students sent a solution.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Barta Gergely, Beke Bálint, Biebel Botond, Boda Benedek János, Bubics Gergely Dániel, Dékány Csaba, Dóra Márton, Dormán Mihály Vilmos, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Korom Lili, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Könye Sólyom, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Nagyváradi Dániel, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Schäffer Bálint, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Szász Levente, Tanner Norman, Téglás Panna, Tóth Ábel, Török 111 László, Tuba Balázs.
3 points:	21 students.
2 points:	11 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2020