Problem P. 5276. (December 2020)

P. 5276. With a sphere-shaped balloon of diameter 25 cm we get into the cabin of a cable car and travel up to the top of the peak called Zugspitze. The cabin is not air-tight, but the temperature inside is kept to be the same as it is at the bottom station. The cabin starts at a height of 1000 m above sea level and goes up to a heigh of nearly 3000 m above sea level. The pressure inside the balloon is only a little greater than the ambient air pressure during the whole the journey.

Estimate the diameter of the balloon when we get off.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ismert, hogy a légnyomás a magassággal exponenciálisan csökken, és kb. 5500 méterenként feleződik:

\(\displaystyle p(x)=p_0\,2^{-\frac{x}{5500~\rm m}}.\)

Ezek szerint a felvonó tetejénél a nyomás és az indító állomáson mérhető nyomás aránya:

\(\displaystyle \frac{p_\text{fent}}{p_\text{lent}}\approx 2^{-\frac{3000{~\rm m}-1000{~\rm m}}{5500{~\rm m}}}=0{,}78.\)

A lufiban a nyomás jó közelítéssel az adott magasságban mérhető külső légnyomással egyezik meg. (Ez azért van így, mert a lufi anyaga nagyon könnyen nyúlik, vagyis a rugóktól eltérően a benne ébredő feszültség nem nő a megnyúlással arányosan.)

A lufiban lévő gáz izotermikusan tágul, tehát a térfogatok aránya a nyomások arányának reciproka:

\(\displaystyle \frac{V_\text{fent}}{V_\text{lent}}\approx \frac{1}{{0{,}78}}=1{,}28.\)

A térfogat a gömb átmérőjének köbével arányos, tehát

\(\displaystyle \frac{d_\text{fent}}{d_\text{lent}}\approx \sqrt[3]{ 1{,}28}\approx 1{,}08,\)

tehát a kitágult lufi átmérője a kiszálláskor

\(\displaystyle d_\text{fent}\approx 1{,}08\cdot 25{~\rm cm}=27{~\rm cm}\)

lesz.

Statistics:

75 students sent a solution.
4 points:	58 students.
3 points:	9 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2020