Problem P. 5284. (January 2021)

P. 5284. The following can be read on the bottle of an alcoholic disinfectant solution: ``Active ingredients: ethyl alcohol (70 V/V%)''. The active ingredient contained by another type of solution is 67.9 m/m% ethanol (ethyl alcohol). Assuming that the amount of other additives is negligible, which solution has greater alcohol concentration? (The density of the ethanol-water mixture as a function of concentration can be found in tables.) Give a generally applicable relationship between the concentration of the solution, expressed both in volume percent and in mass fraction, and density of the solution.

(4 pont)

Deadline expired on February 18, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a tömegszázalékban (m/m%-ban) megadott koncentrációt \(\displaystyle x\)-szel, a térfogatszázalékban (V/V%) megadott értéket pedig \(\displaystyle y\)-nal.

Ha az oldat \(\displaystyle m\) tömegű oldószert és \(\displaystyle M\) tömegű oldott anyagot tartalmaz, akkor

\(\displaystyle x=\frac{M}{m+M}\cdot 100.\)

Az oldat sűrűsége \(\displaystyle x\) tömegkoncentráció esetén \(\displaystyle \varrho(x)\), ezek az értékek táblázatban megtalálhatók.

Az \(\displaystyle M\) tömegű oldandó anyag térfogata (még az oldószerbe öntés előtt)

\(\displaystyle V=\frac{M}{\varrho(100)}.\)

Az \(\displaystyle M+m\) tömegű oldat térfogata

\(\displaystyle V_\text{oldat}=\frac{M+m}{\varrho(x)},\)

az oldat térfogatkoncentrációja:

\(\displaystyle y=\frac{V}{V_\text{oldat}}\cdot 100.\)

A fenti egyenletekből következik, hogy

\(\displaystyle \frac{y}{x}=\frac{\varrho(x)}{\varrho(100)}.\)

Vagyis

\(\displaystyle \text{térfogatszázalék}= \frac{\varrho_\text{oldat}}{\varrho_\text{oldandó~anyag}} \cdot\text{tömegszázalék}.\)

Az \(\displaystyle x=67{,}9\) tömegszázalékos etenol-oldat sűrűsége (a táblázati adatok interpolálásával)

\(\displaystyle \varrho(67{,}5)=0{,}874~\frac{\rm g}{\rm cm^3},\)

a tömény etanol sűrűsége

\(\displaystyle \varrho(100)=0{,}789\frac{\rm g}{\rm cm^3},\)

tehát a térfogatszázalékban kifejezett koncentráció:

\(\displaystyle y=\frac{0{,}874}{0{,}789}\,67{,}9=75{,}1~\rm (V/V)\%.\)

Ez nagyobb, mint a másik, 70 (V/V)%-os fertőtlenítő oldat alkoholkoncentrációja.

Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:	Bagu Bálint, Albert Máté, Bognár 171 András Károly, Csapó Tamás, Fonyi Máté Sándor, Gábriel Tamás, Hegymegi Balázs, Juhász Márk Hunor, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Molnár-Szabó Vilmos, Schmercz Blanka, Szabó Márton, Téglás Panna.
3 points:	Strinyi Péter.
2 points:	15 students.
1 point:	2 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2021