Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5285. feladat (2021. január)

P. 5285. Lapos, korong alakú, \(\displaystyle m\) tömegű test vízszintes, érdes felületen nyugszik. Egy \(\displaystyle D\) direkciós erejű rugó egyik végét a korong közepéhez erősítjük, majd a másik végét vízszintes irányban lassan húzni kezdjük. Kezdetben a rugó feszítetlen. A test egy ideig mozdulatlan, majd megindul, és egyenes vonalban mozog. A korong megindulásának pillanatában a rugó másik végét rögzítjük.

\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a test maximális sebessége?

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő alatt éri el a maximális sebességet?

\(\displaystyle c)\) Mekkora távolságot tesz meg a korong a maximális sebesség eléréséig?

\(\displaystyle d)\) Hogyan mozog a korong a továbbiakban, feltételezve, hogy a rugó mindig egyenes marad?

A korong és az érdes felület között a csúszási súrlódási együttható \(\displaystyle \mu\), a tapadási súrlódás együtthatója pedig \(\displaystyle \mu_0\) (\(\displaystyle \mu_0>\mu\)).

Közli: Wiedemann László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.


Megoldás. A korong akkor mozdul meg, amikor a rugóerő éppen meghaladja a tapadási súrlódási erő \(\displaystyle \mu_0mg\) nagyságú maximális értékét. Ekkor a rugó megnyúlása (a feszítetlen állapotához képest)

\(\displaystyle x_0=\frac{\mu_0mg}{D}.\)

A már mozgó korongra \(\displaystyle \mu mg\) nagyságú csúszási súrlódási erő, valamint a rugó ereje hat. Ha \(\displaystyle x\) a korong elmozdulása, akkor a mozgásegyenlete:

\(\displaystyle ma=D(x_0-x)-\mu mg,\)

vagyis

\(\displaystyle a=-\frac{D}{m}x+(\mu_0-\mu)g.\)

(Ez a mozgásegyenlet csak addig érvényes, amíg a korong a rugó rögzített vége felé mozog. Ha a korong már megállt, vagy ha visszafelé mozogna, akkor a súrlódási erőt már nem a fenti kifejezés adná meg.) Mivel a korong gyorsulása az elmozdulásnak lineáris függvénye, a mozgásegyenlet harmonikus rezgőmozgást ír le. A rezgés körfrekvenciája:

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{m}},\)

a rezgés ,,egyensúlyi helyzete'' (vagyis az \(\displaystyle a=0\)-nak megfelelő helyzet) a korong

\(\displaystyle A=\frac{(\mu_0-\mu)mg}{D}\)

elmozdulásánál található. Mivel a megindulás helye az egyensúlyi helyzettől éppen \(\displaystyle A\) távolságra van, a rezgés amplitúdója \(\displaystyle A\).

\(\displaystyle a)\) A rezgőmozgást végző korong maximális sebessége:

\(\displaystyle v_{\rm max}= A\omega=\sqrt{\frac{m}{D}(\mu_0-\mu)g}.\)

\(\displaystyle b)\) A maximális sebességet a korong egy negyed rezgás, vagyis

\(\displaystyle t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}2 {\sqrt{\frac{m}D}}\)

idő alatt éri el.

\(\displaystyle c)\) A maximális sebesség eléréséig a korong

\(\displaystyle A=\frac{(\mu_0-\mu)mg}{D}\)

utat tesz meg.

\(\displaystyle d)\) A korong akkor áll meg, amikor az elmozdulása \(\displaystyle 2A\). Ebben a helyzetben a rugó által kifejtett erő:

\(\displaystyle F=D(x_0-2A)=mg(2\mu-\mu_0).\)

\(\displaystyle F>0\) esetén rögzített rugóvég felé mutat a húzóerő, \(\displaystyle F<0\) esetén pedig a kiindulási helyzet felé tolja vissza a rugó a korongot. Akármelyik eset valósul meg, az álló korong nem tud megindulni, hiszen

\(\displaystyle \vert mg(2\mu-\mu_0)\vert <mg\mu_0\)

mindenképpen teljesül.


Statisztika:

A P. 5285. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári fizika feladatai