Problem P. 5286. (January 2021)

P. 5286. A uniform-density, thin, incomplete cylindrical shell of radius \(\displaystyle R\) is placed onto a horizontal tabletop as shown in the figure. The angle at the ``missing part'' of the cylinder is \(\displaystyle \varphi\). The cylindrical shell is displaced from its equilibrium position a bit and then released. Determine the period of the oscillation of the shell. Assume that friction is big enough and the shell does not slide during its oscillatory motion.

Data: \(\displaystyle R= 0.2\) m; \(\displaystyle \varphi=\pi/3\).

(5 pont)

Deadline expired on February 18, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Táblázati adatok szerint a hiányos hengerpalást tömegközéppontja \(\displaystyle d=R\frac{\sin\delta}\delta\) távolságban van a henger tengelyétól, ahol \(\displaystyle \delta=\pi-\frac{\varphi}{2}\). (Lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a Homogén tömegeloszlású vonalas alakzatok tömegközéppontja c. részt.) Esetünkben \(\displaystyle \delta=5\pi/6\), tehát \(\displaystyle d=0{,}191\,R=3{,}82~\)cm.

A hiányos hengerpalástnak az \(\displaystyle O\) tengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle \Theta_O=mR^2,\) hiszen minden darabkája \(\displaystyle R\) távol van az \(\displaystyle O\) tengelytől. Eszerint a \(\displaystyle T\) tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték (a Steiner-tétel szerint)

\(\displaystyle \Theta_T=\Theta_O-md^2=m(R^2-d^2).\)

Írjuk fel az \(\displaystyle a\ll 1\) szöggel kitérített test mozgásegyenleteit és a csúszásmentes gördülés kényszerfeltételét.

\(\displaystyle \Theta_T\beta=-mgd\sin\alpha-S(R-d\cos\alpha),\)

\(\displaystyle S=ma,\)

\(\displaystyle (R-d)\beta=a.\)

Itt \(\displaystyle S\) a korongra ható (tapadó) súrlódási erő, \(\displaystyle a\) a tömegközéppont vízszintes irányú gyorsulása, \(\displaystyle \beta\) pedig a szöggyorsulás. A függőleges irányú gyorsulás nagyon (másodrendűen) kicsi, emiatt az asztal által kifejtett nyomóerő \(\displaystyle mg\)-nek vehető (1. ábra).

1. ábra

\(\displaystyle S\) és \(\displaystyle a\) kiküszöbölése után (a \(\displaystyle \sin\alpha\approx \alpha\) valamint a \(\displaystyle \cos\alpha\approx 1\) közelítést alkalmazva) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \left(\Theta_T+m(R-d)^2\right)\beta=-mgd\cdot\alpha,\)

vagyis

\(\displaystyle \beta=-K\cdot \alpha,\)

ahol \(\displaystyle K\) egy állandó. Ez egy olyan harmonikus rezgőmozgás egyenlete, amelyben a \(\displaystyle K\) állandó \(\displaystyle (2\pi/T)^2\)-nel egyezik meg. Innen a rezgésidő:

\(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{(R-d)^2+R^2-d^2}{gd}}=2\pi \sqrt{\frac{2R(R-d)}{gd}}=2{,}61~\rm s.\)

II. megoldás. Tekintsük a kicsiny \(\displaystyle \alpha_0\) szöggel kitérített és kezdősebesség nélkül elindított hiányos hengerpalástot. A kicsiny kezdeti kitérés miatt a test szögelfordulása időben így változik:

\(\displaystyle \alpha(t)=\alpha_0\cos\Omega t,\)

ahol \(\displaystyle \Omega=\frac{2\pi}{T}\) (\(\displaystyle T\) a keresett periódusidő). Ez az időfüggés minden olyan mozgásra igaz, ahol egy stabil egyensúlyi helyzetből mozdítottuk ki a testet, és a rá ható erők a kitérésnek ,,sima'' (differenciálható) függvényei.

A rezgőmozgás összefüggései szerint a hengerpalást legnagyobb szögsebessége (amikor áthalad az egyensúlyi helyzetén):

\(\displaystyle \omega_\text{max}=\alpha_0\,\Omega.\)

(Vigyázat: Ne tévesszük össze a rezgőmozgás \(\displaystyle \Omega\) körfrekvenciáját a test \(\displaystyle \omega\) szögsebességével!)

Írjuk fel a test összes mechanikai energiáját a legnagyobb kitérésű és a legnagyobb szögsebességű állapotára, és alkalmazzuk az energiamegmaradás törvényét (2. ábra):

\(\displaystyle mgd(1-\cos\alpha_0)=mgd\cdot 2\sin^2(\alpha_0/2)\approx mgd\frac{\alpha_0^2}{2}= \frac12\Theta_P \omega_\text{max}^2= \frac12\Theta_P \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\,\alpha_0^2,\)

vagyis

\(\displaystyle mgd=\Theta_P \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)

Ebben a képletben

\(\displaystyle \Theta_P=\Theta_T+m(R-d)^2=\Theta_O+md^2+m(R-d)^2=2mR(R-d)\)

a testnek a talajjal érintkező \(\displaystyle P\) pontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka a szimmetrikus helyzetben, amint azt a Steiner-tétel kétszeri alkalmazása után kaphatjuk.

2. ábra

Az energiamegmaradás egyenletéből követketik, hogy a periódusidő

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{2R(R-d)}{gd}}=2{,}61~\rm s.\)

Statistics:

19 students sent a solution.
5 points:	Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András.
4 points:	Kertész Balázs, Ludányi Levente.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2021