Problem P. 5287. (January 2021)

P. 5287. We have three resistors of resistance values 1 ohm, 2 ohms and 3 ohms, each rated at 1 watt. The three resistors are connected in all possible ways, such that some current flows through all of them in each connection.

\(\displaystyle a)\) Between what values does the maximum allowed total power of the circuits vary?

\(\displaystyle b)\) In which connection will the maximum allowed total dissipated power be exactly 2 watts?

(4 pont)

Deadline expired on February 18, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A három ellenállást nyolcféle módon kapcsolhatjuk össze.

\(\displaystyle (a)\) Mindhárom ellenállást sorosan kapcsoljuk (1.a) ábra). Ekkor a rajtuk átfolyó áram erőssége egyforma, tehát a teljesítményük: \(\displaystyle P_1=I^2\cdot 1~\Omega\), \(\displaystyle P_2=I^2\cdot 2~\Omega\) és \(\displaystyle P_3=I^2\cdot 3~\Omega\). (Az egyes elemekhez tartozó fizikai mennyiségeket az ellenállásuk ohmban mért értékével megegyező indexszel jelöljük.) Látható, hogy a legnagyobb teljesítmény \(\displaystyle P_3\), és az akkor egyezik meg 1 wattal, ha \(\displaystyle I^2=\frac13\). (Az SI mértékegységeket a továbbiakban nem írjuk ki.) Ekkor

\(\displaystyle (a)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=\frac13=0{,}33,\qquad P_2=\frac{2}{3}=0{,}67,\qquad P_3= 1{,}00, \qquad \sum_{i=1}^3 P_i=2{,}0~\rm watt.\)

1. ábra

\(\displaystyle (b)\) A három ellenállást párhuzamosan kapcsoljuk, és valamekkora \(\displaystyle U\) feszültséget kötünk rájuk (1.b) ábra). Mivel a rájuk eső feszültség ugyanakkora, a teljesítmények: \(\displaystyle P_1=U^2,\) \(\displaystyle P_2=U^2/2\) és \(\displaystyle P_3=U^2/3\). Látható, hogy a legnagyobb teljesítmény \(\displaystyle P_1\), és az akkor egyezik meg 1 wattal, ha \(\displaystyle U^2=1\). Ekkor

\(\displaystyle (b)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=1{,}00,\qquad P_2=\frac12=0{,}50,\qquad P_3=\frac13=0{,}33, \qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}83~\rm watt.\)

\(\displaystyle (c)\) Kapcsolhatunk két ellenállást sorosan, és a harmadikat velük párhuzamosan. Ezt háromféleképpen tehetjük meg (2.ábra).

2. ábra

Tekintsük először a \(\displaystyle (c_1)\) kapcsolást. Az 1 ohmos ellenálláson \(\displaystyle U\), a másik kettőn \(\displaystyle U/5\) erősségű áram folyik. Ennek megfelelően a teljesítmények:

\(\displaystyle P_1=U^2, \qquad P_2=2\left(\frac{U}{5}\right)^2=\frac{2}{25}U^2, \qquad P_3=\frac{3}{25}U^2.\)

Ezek közül \(\displaystyle P_1\) a legnagyobb, és \(\displaystyle U^2=1\) esetén éppen 1 watt. Ezek szerint

\(\displaystyle (c_1)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=1{,}00,\qquad P_2=\frac2{25}=0{,}08,\qquad P_3 =\frac3{25}=0{,}12,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}20~\rm watt.\)

Hasonló számítással kapjuk, hogy

\(\displaystyle (c_2)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1 =1{,}00,\qquad P_2=\frac18=0{,}125,\qquad P_3= \frac38=0{,}375,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}5~\rm watt,\)

és végül

\(\displaystyle (c_3)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1 =1{,}00,\qquad P_2=\frac13=0{,}33,\qquad P_3= \frac23=0{,}675,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=2{,}0~\rm watt,\)

\(\displaystyle (d)\) Kapcsolhatunk két ellenállást párhuzamosan, és a harmadikat velük sorosan. Ezt is háromféleképpen tehetjük meg (3.ábra).

3. ábra

Tekintsük a \(\displaystyle (d_1)\) kapcsolást. A 2 ohmos és a 3 ohmos ellenállásokon folyó áramok aránya \(\displaystyle 3:2\), ekkor lesz ugyanis a rájuk eső feszültség ugyanakora. Legyen ez a kér áramerősség \(\displaystyle 3I\) és \(\displaystyle 2I\), a harmadik ellenálláson ekkor \(\displaystyle 5I\) erősségű áram folyik. Az egyes teljesítmények:

\(\displaystyle P_1=25\,I^2,\qquad P_2=3\cdot (2I)^2=12\,I^2, \qquad P_3=2\cdot (3I)^2=18\,I^2.\)

Ezek közül \(\displaystyle P_1\) a legnagyobb, és \(\displaystyle I^2=\frac{1}{25}\) esetén egyezik meg 1 wattal. A megfelelő teljesítmények ekkor:

\(\displaystyle (d_1)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=1{,}00,\qquad P_2=\frac{18}{25}=0{,}72,\qquad P_3 =\frac{12}{25}=0{,}48,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=2{,}2~\rm watt.\)

Hasonló számítással kapjuk, hogy

\(\displaystyle (d_2)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=\frac{9}{32}=0{,}28,\qquad P_2=1{,}00,\qquad P_3 =\frac{3}{32}=0{,}09,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}37~\rm watt,\)

és

\(\displaystyle (d_3)\text{~eset:} \hskip 2cm P_1=\frac4{27}=0{,}15\qquad P_2=\frac{2}{27}=0{,}07,\qquad P_3 =1{,}00,\qquad \sum_{i=1}^3 P_i=1{,}22~\rm watt.\)

Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy három ellenállás megengedett összteljesítménye 1,2 W és 2,2 W között változhat, és két kapcsolásnál is éppen 2 W az értéke.

Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Dékány Csaba, Dózsa Levente, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Juhász Júlia, Juhász Márk Hunor, Korom Lili, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Szász Levente.
3 points:	Albert Máté, Bálint Máté, Barta Gergely, Beke Bálint, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Horváth Antal, Kelecsényi Levente , Köpenczei Csanád, Mozolai Bende Bruno, Németh Kristóf, Szabó Márton, Takács Dóra, Tanner Norman, Tuba Balázs.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2021