Problem P. 5288. (January 2021)

P. 5288. The walls of an aquarium are made of \(\displaystyle d=12\) mm thick glass of refractive index \(\displaystyle n_\text{g}= 3/2\). There is a fish swimming in the water. The refractive index of water is \(\displaystyle n_\text{w}= 4/3\). When the fish is observed from outside in the direction which is perpendicular to the wall of the aquarium, at what distance does that point of the fish seem to be which in reality is at a distance of exactly 20 cm from the external surface of the wall?

(4 pont)

Deadline expired on February 18, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük azt a fénysugarat, amely a falra merőleges irányhoz képest nagyon kicsi \(\displaystyle \alpha\) szögben indul ki a halacska megfigyelt pontjából (lásd az ábrát, amely nem méretarányos). A fénysugár a víz-üveg határfelületen megtörik, és az optikai tengelyhez képest

\(\displaystyle \beta=\frac{n_\text{ü}}{n_\text{v}}\,\alpha\)

szögben halad tovább. (A törési törvényben a kicsiny szögek szinuszát a szögek radiánban mért értékével közelíthetjük.)

Az üveg-levegő határfelülethez érve a \(\displaystyle \beta\) beesési szögű fénysugár

\(\displaystyle \gamma=n_\text{ü}\,\beta=n_\text{v}\,\alpha\)

szögben halad tovább.

Az ábráról leolvasható, hogy

\(\displaystyle x=(t-d)\,\alpha,\qquad y=d\,\beta \qquad \text{és}\qquad x+y=k\,\gamma,\)

vagyis

\(\displaystyle k=\frac{t-d}{n_\text{v}}+\frac{ d}{n_\text{ü}}=\frac34\,(20~{\rm cm}-12~{\rm mm})+\frac23\,(12~{\rm mm})=149~\rm mm.\)

Mivel \(\displaystyle k\) nem függ a kicsiny \(\displaystyle \alpha\) szögtől, valamennyi (kicsiny szögben kiinduló) fénysugár ugyanott metszi az optikai tengelyt, tehát itt, az akvárium külső falfelületétől \(\displaystyle k=149~\)mm távolságban jön létre a halacska kérdéses pontjának virtuális képe.

Statistics:

20 students sent a solution.
4 points:	Beke Zsolt, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
3 points:	Mócza Tamás István, Puskás Attila, Szabó Márton.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2021