Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5292. feladat (2021. január)

P. 5292. A \(\displaystyle \beta^-\)-bomló \(\displaystyle {}^{14}\mathrm{C}\) felezési ideje 5568 év. Egy bizonyos mennyiségű szénben a 14-es izotóp kezdeti aktivitása 12 MBq volt.

\(\displaystyle a)\) Hány atommag bomlott el az első percben?

\(\displaystyle b)\) Hány mag bomlott el az első 10 ezer évben?

\(\displaystyle c)\) Mekkora volt a kezdeti szén 14-es izotóp össztömege?

\(\displaystyle d)\) A kezdethez képest mennyi idő múlva lesz a szénben a 14-es izotóp tömege \(\displaystyle 1 \mu \mathrm{g}\)?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az aktivitás az egységnyi idő alatt bekövetkező bomlások száma. Mivel 1 perc=60 s sokkal rövidebb, mint a \(\displaystyle ^{14}\rm C\) felezési ideje, az aktivitás ezen idő alatt állandónak tekinthető, és így a bomlások száma:

\(\displaystyle N=\left(60~{\rm s}\right)\cdot\left(12\cdot 10^6~\frac{1}{\rm s}\right)=7{,}2\cdot 10^8.\)

\(\displaystyle b)\) A kezdeti aktivitásból és a felezési időből kiszámítható a kezdeti részecskeszám:

\(\displaystyle A=N_0\frac{\ln 2}{T_{1/2}},\qquad \text{azaz}\qquad N_0=\frac{1}{\ln2}\left(12\cdot 10^6~\frac{1}{\rm s}\right)\cdot 5568\cdot 365\cdot 24\cdot 3600~{\rm s}=3{,}04\cdot10^{18}. \)

\(\displaystyle t=10\,000\) év alatt a még el nem bomlott atommagok száma

\(\displaystyle N(t)=N_0\,2^{-\left(t/T_{1/2}\right)}=0{,}288\,N_0=8{,}75\cdot10^{17}\)

értékre csökkent, vagyis a bomlások száma:

\(\displaystyle N_0-N(t)=2{,}2\cdot 10^{18}.\)

\(\displaystyle c)\) Kezdetben a szén-14-es izotóp tömeg:

\(\displaystyle m=N_0 \frac{14~{\rm g/mol}}{6\cdot10^{23}/\rm mol}=71~\mu\rm g.\)

\(\displaystyle d)\) A bomlási törvény szerint

\(\displaystyle 1~\mu{\rm g}=71~\mu{\rm g}\cdot 2^{-\left(t/T_{1/2}\right)},\)

ahonnan a kérdéses idő:

\(\displaystyle t=\frac{\ln 71}{\ln 2}\cdot 5568~\text{év}\approx 34\,200~\text{év}.\)


Statisztika:

A P. 5292. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári fizika feladatai