Problem P. 5293. (January 2021)
P. 5293. There are a lot of terminals at the top of a black box. It is known that inside the box, between any two pairs of terminals a resistor of unknown resistance is soldered. How can we measure the resistance of the resistor between two arbitrary chosen terminals if we have an ohm-meter and a large number of wires?
(6 pont)
Deadline expired on February 18, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a mérendő pontokat \(\displaystyle A\)-val és \(\displaystyle B\)-vel. Röpzsinórok segítségével kössük össze az összes további kivezetést, és jelöljük a közös pontjukat \(\displaystyle C\)-vel (1. ábra).
1. ábra
Legyen az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti (keresett) ellenállás nagysága \(\displaystyle R\), az \(\displaystyle AC\) pontpár közötti ellenállások eredője \(\displaystyle X\), a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) közöttiek eredője pedig \(\displaystyle Y\) (2. ábra).
2. ábra
Három ellenállásmérést végzünk.
\(\displaystyle a)\) Rövidre zárjuk \(\displaystyle A\)-t és \(\displaystyle B\)-t, majd megmérjük az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) közötti \(\displaystyle R_1\) eredő ellenállást:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{1}{R_1}=\frac{1}{X}+\frac{1}{Y},\) |
\(\displaystyle b)\) Rövidre zárjuk \(\displaystyle A\)-t és \(\displaystyle C\)-t, majd megmérjük az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) közötti \(\displaystyle R_2\) eredő ellenállást:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{1}{R_2}=\frac{1}{R}+\frac{1}{Y},\) |
\(\displaystyle c)\) Rövidre zárjuk \(\displaystyle B\)-t és \(\displaystyle C\)-t, majd megmérjük az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) közötti \(\displaystyle R_3\) eredő ellenállást:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{1}{R_3}=\frac{1}{R}+\frac{1}{X}.\) |
Vonjuk ki a (2) és (3) egyenletek összegéből az (1) egyenletet:
\(\displaystyle \frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}-\frac{1}{R_1}=\frac{2}{R}.\)
Innen kifejezhetjük a keresett \(\displaystyle R\) ellenállás nagyságát a mért (ismert) \(\displaystyle R_1\), \(\displaystyle R_2\) és \(\displaystyle R_3\) segítségével:
\(\displaystyle R= 2\left(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}-\frac{1}{ R_1} \right)^{-1}.\)
Statistics:
10 students sent a solution. 6 points: Gurzó József, Kozaróczy Csaba, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2021