Problem P. 5300. (February 2021)

P. 5300. The principal axis of a lens of diameter 10 cm, and of focal length 20 cm points exactly towards the centre of the Sun. A plane mirror is placed 30 cm from the lens as it is shown in the figure. Where should a very small object be placed on the principal axis in order that its temperature increase at the greatest rate? Assuming clear sunny weather how long would it take for a small piece of ice placed to that position to melt provided that the ice is kept in a small aluminium jar covered in black soot? The volume of the ice is \(\displaystyle 0.1~\mathrm{cm}^3\) and it is at a temperature of \(\displaystyle 0\;{}^\circ\)C. The total energy lost in the lens, in the mirror and on the surface of the bodies, is the 20% of the useful energy. The intensity of the radiation of the Sun at the surface of the Earth is \(\displaystyle 0.1~\mathrm{W/cm}^2\), and the image of the Sun is smaller than the size of the jar.

Along the principal axis there is another point at which the ice in the jar melts sooner than at the neighbouring points. Where is this point and how long does it take for the ice to melt there?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A lencse területe \(\displaystyle r^2\pi=78{,}5~\rm cm^2\), ekkora területre 7,85 W sugárzási teljesítmény esik, amelynek \(\displaystyle 5/6\approx0{,}83=83\)%-a, vagyis 6,5 W a melegítés szempontjából hasznos teljesítmény. Nézzük meg, hogy ekkora teljesítmény mennyi idő alatt tud megolvasztani \(\displaystyle 0,1\ \text{cm}^3\ 0\ ^{\circ}\text{C}\) hőmérsékletű jeget. Az alumíniumtégely nem vesz fel hőt, hiszen az olvadás során a hőmérséklet végig \(\displaystyle 0\ ^{\circ}\text{C}\) marad. A jég sűrűsége \(\displaystyle 0,9\ \text{g/cm}^3\), tehát \(\displaystyle 0,1\ \text{cm}^3\) jég tömege \(\displaystyle 0,09\ \text{g}\). \(\displaystyle 1\ \text{g}\ 0\ ^{\circ}\text{C}\)-os jég megolvasztásához \(\displaystyle 335~\rm J\) hő szükséges, így \(\displaystyle 0,09~\text{g}\) jég megolvasztásához

\(\displaystyle t=\frac{m\,L }{P}=\frac{(0,09~\text{g})\cdot 335~\rm J/g}{6{,}5~\rm W} =4{,}6\ \text{s}\)

időre van szükség.

A síktükör által visszavert sugarak egy részét a lencse ismét fókuszálja, tehát a ,,második fókuszpontba'' helyezett tégelyben is gyorsabban fog megolvadni a jég , mint a környező helyeken. Az \(\displaystyle F\) fókuszponton áthaladó sugarak a tükröződés után úgy haladnak tovább, mintha az \(\displaystyle F'\) pontből indultak volna el. Ez a pont éppen a lencse kétszeres fókusztávolságánál van, tehát a megfelelő képtávolság is ugyanekkora lesz. A tégelyt tehát a lencse elé, attól 40 cm-távolságra elhelyezve viszonylag gyors jégolvadást várhatunk. Az ábráról leolvasható, hogy a tükröződő képalkotásban csak azok a fénysugarak vesznek rész, amelyek az optikai tengelytől mérve \(\displaystyle x=2{,}5\) cm-nél kisebb távolságban érték el a lencsét. Ez a távolság a lencse sugarának felét, felületének \(\displaystyle \tfrac14\) részét jelenti, tehát a második helyzetben négyszer hosszabb idő, kb. 18 s alatt olvad meg a jég.

Megjegyzések. 1. A lencse Nap felöli oldalára helyezett tégely kitakarja a napsugárzás egy részét. Ez a hatás a melegítést nem csökkenti, mert maga a tégely fogja fel a sugarakat, azok pedig közvetlenül melegítik a bekormozott fémet.

2. A feladat szövege a veszteségeket – szokatlan módon – nem az összes beeső energia, hanem a ,,hasznos'' energia 20%-ként adta meg. Ha a szokásos módon értelmezzük az arányokat, akkor 80%-os hatásfokkal kell számoljunk, és ekkor az olvadási idők mintegy 4%-kal nagyobbnak adódnak. (Bármelyik értelmezés szerint számolt megoldást – ha az egyébként helyes – teljes értékűnek fogadjuk el.)

Statistics:

14 students sent a solution.
5 points:	Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony.
4 points:	Hauber Henrik, Tóth Ábel.
3 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, February 2021