Problem P. 5301. (February 2021)

P. 5301. In the electric field of a point-like charge \(\displaystyle Q\), at a distance of \(\displaystyle R\) from it, there is a point-like electric dipole, which can rotate freely and which has a dipole momentum of \(\displaystyle p\). How much work has to be done when the dipole is moved very far (``to infinity'') from the charge?

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A \(\displaystyle p\) dipólmomentumú dipólus egymástól nagyon kicsi \(\displaystyle d\) távolságban elhelyezkedő, \(\displaystyle Q'=\pm p/d\) nagyságú ponttöltésekből áll. A kezdeti állapotban a \(\displaystyle -Q'\) töltéstől a \(\displaystyle +Q'\) töltés felé mutató \(\displaystyle \boldsymbol p\) dipólmumentum-vektor a \(\displaystyle Q\) töltéssel ellentétes irányba mutat. A dipólustól \(\displaystyle R\) távolságban az elektromos potenciál:

\(\displaystyle \Phi(R)=\frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R+d}-\frac{1}{R} \right)=-\frac{Q'd}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R(R+d)} \approx -\frac{Q'd}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}=-\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}.\)

A rögzített \(\displaystyle Q\) töltés és a dipólus eltávolítása során végzett munka ugyanannyi, mintha a rögzített dipólustól távolítanánk el a \(\displaystyle Q\) töltést. Ez pedig

\(\displaystyle W=Q\,\Phi(\infty)- Q\,\Phi(R) =\frac{pQ}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}.\)

II. megoldás. A ponttöltés elektromos térerőssége a töltéstől \(\displaystyle R\) távolságban

\(\displaystyle \vert {\boldsymbol E}\vert = E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R^2}.\)

Adott \(\displaystyle {\boldsymbol E}\) elektromos térben egy \(\displaystyle {\boldsymbol p}\) dipólmumentum energiája \(\displaystyle -{\boldsymbol p}{\boldsymbol E}\). Kezdetben a dipólus-vektor és a külső elektromos tér iránya megegyezik, hiszen ilyen helyzetben a legkisebb a szabadon forgó dipólus energiája.

Forgassuk el a dipólust \(\displaystyle 90^\circ\)-kal, tehát hozzuk olyan helyzetbe, hogy \(\displaystyle {\boldsymbol p}\) és \(\displaystyle {\boldsymbol E}\) legyenek merőlegesen egymásra. Ehhez \(\displaystyle W=pE\) munkát kell végezzünk. Mivel az elforgatott dipól és a ponttöltés közötti eredő erő nulla, a dipólust további munkavégzés nélkül nagyon messzire eltávolíthatjuk a ponttöltéstől. A kérdéses munka tehát

\(\displaystyle W=pE =\frac{pQ}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}.\)

Statistics:

22 students sent a solution.
4 points:	Beke Bálint, Berkesi Tímea, Dékány Csaba, Gurzó József, Hauber Henrik, Ludányi Levente, Nemeskéri Dániel, Somlán Gellért, Szász Levente, Téglás Panna, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
3 points:	Mihalik Bálint.
2 points:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, February 2021