 |
A P. 5302. feladat (2021. február) |
P. 5302. Az ábrán látható alul zárt, \(\displaystyle A\) keresztmetszetű, felül nyitott csövet függőleges helyzetben tartjuk úgy, hogy egy \(\displaystyle m\) tömegű, benne könnyen csúszó, a csőből kissé kiérő tömör, nehéz dugattyút is fogunk.
A külső \(\displaystyle p_0\) légnyomás és a belső nyomás kezdetben megegyezik. A bezárt légoszlop kezdeti hossza \(\displaystyle L\). A cső alja a vízszintes talajtól \(\displaystyle h_0\) magasságra van. A külső és a kezdeti belső hőmérséklet \(\displaystyle T_0\). Ezt a rendszert egy adott pillanatban kezdősebesség nélkül elengedjük. A cső alja az ütközéskor hozzátapad a talajhoz. (A csőben a súrlódás, valamint a külső légkörbeli közegellenállás elhanyagolható.)
\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a maximális hőmérséklet a csőben?
\(\displaystyle b)\) Mekkora lesz a dugattyú legnagyobb gyorsulása?
\(\displaystyle c)\) Milyen magasra emelkedik a csőből kirepülő dugattyú?
Adatok: \(\displaystyle A = 0{,}25~\mathrm{dm}^2\), \(\displaystyle m = 0{,}5\) kg, \(\displaystyle p_0 = 10^5\) Pa, \(\displaystyle L = 0{,}8\) m, \(\displaystyle h_0 = 0{,}6\) m, \(\displaystyle T_0=300\) K.
Közli: Holics László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A cső és a dugattyú az ütközés előtti pillanatban \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh_0}\) sebességgel mozog. Az ütközéskor a cső hirtelen megáll, a dugattyú viszont \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel mozog tovább. A csőben lévő levegő viszonylag gyorsan (nagyságrendileg tizedmásodperc alatt) nyomódik össze, a folyamat tehát tekinthető adiabatikusnak. Levegőre vonatkozó állapotegyenletek szerint
\(\displaystyle pV^{1{,}4}=\text{állandó},\qquad\text{tehát}\qquad p\sim V^{-1{,}4}\qquad\text{és}\qquad T\sim pV\sim V^{-0{,}4}.\)
Jelöljük a dugattyú pillanatnyi megállásához tartozó csőhosszat \(\displaystyle xL\)-lel (\(\displaystyle x<1\)), a levegő maximális nyomását \(\displaystyle p\)-vel, legmagasabb hőmérsékletét pedig \(\displaystyle T\)-vel. Az adiabatikus egyenletek szerint
\(\displaystyle p=p_0\,x^{-1{,}4}, \qquad E=\frac{5}{2}pAL=\frac{5}{2}p_0AL\,x^{-0{,}4}\qquad \text{és}\qquad T=T_0x^{-0{,}4}.\)
Írjuk fel az energiamegmaradás tételét az ütközés pillanatának és a dugattyú megállásának megfelelő állapotok között:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+mgL+\frac{5}{2}p_0AL+p_0AL(1-x)=mgxL+\frac{5}{2}p_0ALx^{-0{,}4}.\)
(A bal oldal utolsó tagja a \(\displaystyle p_0\) nyomású légkör által a gázon végzett munkával egyenlő.) A fenti egyenletből \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh_0}\) felhasználásával algebrai átrendezés után ezt kapjuk:
\(\displaystyle \frac{mg}{Ap_0}\cdot\frac{h_0}{L}+\left(\frac{mg}{Ap_0}+1\right)(1-x)=\frac52\left(x^{-0{,}4}-1\right).\)
A megadott számadatok mellett
\(\displaystyle \frac{mg}{Ap_0}=0{,}02 \qquad \text{és}\qquad \frac{h_0}{L}=0{,}75,\)
így a megoldandó egyenlet
\(\displaystyle 0{,}015+1{,}02\,(1-x)=2{,}5\,\left(x^{-0{,}4}-1\right).\)
Ennek numerikus megoldása \(\displaystyle x=0{,}85\), a keresett maximális hőmérséklet tehát
\(\displaystyle T=\frac{T_0}{0{,}85^{ 0{,}4}}\approx 320~\rm K.\)
Megjegyzés. A dugattyú \(\displaystyle v_0\approx 3~\)m/s sebességről \(\displaystyle (1-x)L\approx 10\) cm út megtétele után áll meg. Ha egyenletesen lassult volna, akkor a megállásig kb. 0,1 s telt volna el. A változó gyorsulású mozgásnál is nagyságrendileg hasonló idő, tehát kb. tizedmásodperc telik csak el a dugattyú megállásáig. Ezalatt számottevő hőcsere nem alakul ki a dugattyú és a bezárt levegő között. Ez utólag megerősíti azt a feltevésünket, hogy a folyamat tekinthető adiabatikusnak.
\(\displaystyle b)\) A szabadon eső csőben a dugattyú ,,súlytalan'', emiatt az ütközés pillanatában a csőben levő levegő nyomása még \(\displaystyle p_0\). Amint a dugattyú belecsúszik a csőbe, a levegő nyomása megnő, tehát a dugattyú gyorsulása csökkenni kezd, valahol nullává válik, majd egyre nagyobb felfelé irányuló gyorsulásra tesz szert.
A legnagyobb gyorsulás a legnagyobb túlnyomás mellett alakul ki, vagyis amikor a dugattyú pillanatnyi sebessége éppen nulla. Ekkor a bezárt levelő nyomása:
\(\displaystyle p_\text{max}=p_0 x^{-1{,}4}=1{,}255\,p_0.\)
A dugattyú mozgásegyenlete ebben az állapotban:
\(\displaystyle \left(p_\text{max}-p_0\right)A-mg=ma,\)
ahonnan
\(\displaystyle a=\left[(1{,}255-1)\left(\frac{p_0A}{mg}\right)-1\right]g=11{,}7\,g\approx115~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
\(\displaystyle c)\) Az energiamegmaradás tétele szerint a felfelé mozgó dugattyú \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh_0}\) nagyságú sebességgel éri el a cső tetejét, majd onnan további \(\displaystyle h_0\) magasságra emelkedik. Ez éppen az a helyzet, ahonnan elejtettük. A dugattyú szempontjából az ütközés rugalmas (ha a súrlódásra és a közegellenállásra tett feltevések teljesülnek), csak a cső mechanikai energiája csökken le a rugalmatlan ütközés során.
Statisztika:
29 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Dóra Márton, Fonyi Máté Sándor, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Dékány Csaba, Schmercz Blanka. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2021. februári fizika feladatai