Problem P. 5302. (February 2021)

P. 5302. A tube, closed at its bottom end and open at the its top, having a cross sectional area of \(\displaystyle A\), is held vertically as it is shown in the figure such that at its top we also hold a heavy, solid piston of mass \(\displaystyle m\), which can move easily in the tube and which extends a bit beyond the tube.

Initially the external pressure \(\displaystyle p_0\) is the same as the pressure inside the tube. The initial length of the air column in the tube is \(\displaystyle L\). The bottom of the tube is at a distance of \(\displaystyle h_0\) from the level ground. The ambient temperature and the initial temperature inside is \(\displaystyle T_0\). The system is released without initial speed at a certain moment. The bottom of the tube sticks to the ground when it collides with it. (Friction inside the tube and the external air resistance is negligible.)

\(\displaystyle a)\) What will the maximum temperature inside the tube be?

\(\displaystyle b)\) What will the maximum acceleration of the piston be?

\(\displaystyle c)\) To what height will the piston go up after leaving the tube?

Data: \(\displaystyle A = 0.25~\mathrm{dm}^2\), \(\displaystyle m = 0.5\) kg, \(\displaystyle p_0 = 10^5\) Pa, \(\displaystyle L = 0.8\) m, \(\displaystyle h_0 = 0.6\) m, \(\displaystyle T_0=300\) K.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A cső és a dugattyú az ütközés előtti pillanatban \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh_0}\) sebességgel mozog. Az ütközéskor a cső hirtelen megáll, a dugattyú viszont \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel mozog tovább. A csőben lévő levegő viszonylag gyorsan (nagyságrendileg tizedmásodperc alatt) nyomódik össze, a folyamat tehát tekinthető adiabatikusnak. Levegőre vonatkozó állapotegyenletek szerint

\(\displaystyle pV^{1{,}4}=\text{állandó},\qquad\text{tehát}\qquad p\sim V^{-1{,}4}\qquad\text{és}\qquad T\sim pV\sim V^{-0{,}4}.\)

Jelöljük a dugattyú pillanatnyi megállásához tartozó csőhosszat \(\displaystyle xL\)-lel (\(\displaystyle x<1\)), a levegő maximális nyomását \(\displaystyle p\)-vel, legmagasabb hőmérsékletét pedig \(\displaystyle T\)-vel. Az adiabatikus egyenletek szerint

\(\displaystyle p=p_0\,x^{-1{,}4}, \qquad E=\frac{5}{2}pAL=\frac{5}{2}p_0AL\,x^{-0{,}4}\qquad \text{és}\qquad T=T_0x^{-0{,}4}.\)

Írjuk fel az energiamegmaradás tételét az ütközés pillanatának és a dugattyú megállásának megfelelő állapotok között:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+mgL+\frac{5}{2}p_0AL+p_0AL(1-x)=mgxL+\frac{5}{2}p_0ALx^{-0{,}4}.\)

(A bal oldal utolsó tagja a \(\displaystyle p_0\) nyomású légkör által a gázon végzett munkával egyenlő.) A fenti egyenletből \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh_0}\) felhasználásával algebrai átrendezés után ezt kapjuk:

\(\displaystyle \frac{mg}{Ap_0}\cdot\frac{h_0}{L}+\left(\frac{mg}{Ap_0}+1\right)(1-x)=\frac52\left(x^{-0{,}4}-1\right).\)

A megadott számadatok mellett

\(\displaystyle \frac{mg}{Ap_0}=0{,}02 \qquad \text{és}\qquad \frac{h_0}{L}=0{,}75,\)

így a megoldandó egyenlet

\(\displaystyle 0{,}015+1{,}02\,(1-x)=2{,}5\,\left(x^{-0{,}4}-1\right).\)

Ennek numerikus megoldása \(\displaystyle x=0{,}85\), a keresett maximális hőmérséklet tehát

\(\displaystyle T=\frac{T_0}{0{,}85^{ 0{,}4}}\approx 320~\rm K.\)

Megjegyzés. A dugattyú \(\displaystyle v_0\approx 3~\)m/s sebességről \(\displaystyle (1-x)L\approx 10\) cm út megtétele után áll meg. Ha egyenletesen lassult volna, akkor a megállásig kb. 0,1 s telt volna el. A változó gyorsulású mozgásnál is nagyságrendileg hasonló idő, tehát kb. tizedmásodperc telik csak el a dugattyú megállásáig. Ezalatt számottevő hőcsere nem alakul ki a dugattyú és a bezárt levegő között. Ez utólag megerősíti azt a feltevésünket, hogy a folyamat tekinthető adiabatikusnak.

\(\displaystyle b)\) A szabadon eső csőben a dugattyú ,,súlytalan'', emiatt az ütközés pillanatában a csőben levő levegő nyomása még \(\displaystyle p_0\). Amint a dugattyú belecsúszik a csőbe, a levegő nyomása megnő, tehát a dugattyú gyorsulása csökkenni kezd, valahol nullává válik, majd egyre nagyobb felfelé irányuló gyorsulásra tesz szert.

A legnagyobb gyorsulás a legnagyobb túlnyomás mellett alakul ki, vagyis amikor a dugattyú pillanatnyi sebessége éppen nulla. Ekkor a bezárt levelő nyomása:

\(\displaystyle p_\text{max}=p_0 x^{-1{,}4}=1{,}255\,p_0.\)

A dugattyú mozgásegyenlete ebben az állapotban:

\(\displaystyle \left(p_\text{max}-p_0\right)A-mg=ma,\)

ahonnan

\(\displaystyle a=\left[(1{,}255-1)\left(\frac{p_0A}{mg}\right)-1\right]g=11{,}7\,g\approx115~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

\(\displaystyle c)\) Az energiamegmaradás tétele szerint a felfelé mozgó dugattyú \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh_0}\) nagyságú sebességgel éri el a cső tetejét, majd onnan további \(\displaystyle h_0\) magasságra emelkedik. Ez éppen az a helyzet, ahonnan elejtettük. A dugattyú szempontjából az ütközés rugalmas (ha a súrlódásra és a közegellenállásra tett feltevések teljesülnek), csak a cső mechanikai energiája csökken le a rugalmatlan ütközés során.

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Dóra Márton, Fonyi Máté Sándor, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony.
4 points:	Dékány Csaba, Schmercz Blanka.
3 points:	2 students.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2021