Problem P. 5304. (February 2021)
P. 5304. A stationary body is located at the equator. In which case will the apparent weight of the object be smaller: at noon or at midnight? What is the relative change in the apparent weight of the object in 12 hours? Neglect the effect of any celestial bodies other than the Sun and the Earth.
(6 pont)
Deadline expired on March 16, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a test tömegét \(\displaystyle m\)-mel, a Nap tömegét \(\displaystyle M\)-mel, a Föld sugarát \(\displaystyle r\)-rel, a Nap-Föld távolságot \(\displaystyle R\)-rel, a Föld középpontjának keringési szögsebességét pedig \(\displaystyle \omega\)-val! A Föld mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \gamma\frac{M}{R^2}=R\omega^2.\) |
Az Egyenlítőn elhelyezkedő test mozgása a Föld forgómozgásából és a Nap körüli keringésből tevődik össze. A déli és az éjféli helyzetet annyiban más, hogy a Nap délben felfelé, éjfélkor pedig lefelé húzza a testet. A Föld forgásából és a Föld gravitációs vonzásából adódó erők délben és éjfélkor ugyanakkorák, az erők különbségéből tehát kiesnek. Emiatt (az erőkülönbség szempontjából) képzelhetjük úgy a Föld forgását, mintha a periódusideje 1 év lenne, vagyis mintha (a Holdhoz hasonlóan) mindig ugyanazt az oldalát mutatná a Nap felé.
Legyen a súlyerő (amit egy igen pontos mérleg mutatna) \(\displaystyle G_\text{dél}\) és \(\displaystyle G_\text{éjfél}\), a Föld gravitációs vonzóereje pedig \(\displaystyle G_0\). (A Föld középpontja felé mutató irányt tekintsük pozitívnak.) A vizsgált test mozgásegyenlete
\(\displaystyle G_0-G_\text{dél}-\gamma\frac{mM}{(R-r)^2}=-m(R-r)\omega^2,\)
illetve
\(\displaystyle G_0-G_\text{éjfél}+\gamma\frac{mM}{(R+r)^2}=m(R+r)\omega^2.\)
A fenti két egyenletet kivonva egymásból, továbbá (1) alapján \(\displaystyle \gamma M\)-et \(\displaystyle R^3\omega^2\)-tel helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle G_\text{éjfél}-G_\text{dél}=mR\omega^2\left[\frac{1}{(1-r/R)^2}+\frac{1}{(1+r/R)^2}-2\right].\)
Mindkét súly jó közelítéssel \(\displaystyle G_0=mg\)-vel egyenlő, így a relatív súlyváltozás:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{\Delta G}{G_0}=\frac{R\omega^2}{g}\left[\frac{1}{(1-\varepsilon)^2}+\frac{1}{(1+\varepsilon)^2}-2\right],\) |
ahol
\(\displaystyle \varepsilon=\frac{r}{R}=\frac{6378~\rm km}{150~\text{millió km}}=4{,}25\cdot10^{-5}\ll 1.\)
A (2) egyenlet jobb oldalán a szögletes zárójelben álló kifejezés értékét közvetlenül (pl. egy zsebszámológéppel) nem tudjuk kiszámítani, mert majdnem pontosan egyforma számok különbségét tartalmazza. Ha viszont közös nevezőre hozzuk, a következő eredményt kapjuk:
\(\displaystyle \frac{1}{(1-\varepsilon)^2}+\frac{1}{(1+\varepsilon)^2}-2=\frac{(1+\varepsilon)^2+(1-\varepsilon)^2- 2(1-\varepsilon^2)^2}{(1-\varepsilon^2)^2}\approx 6\varepsilon^2\approx 1{,}1\cdot10^{-8}.\)
(Az utolsó előtti lépésnél a számlálóban és a nevezőben is \(\displaystyle \varepsilon\)-nak csak a legkisebb kitevőjű hatványát tartottuk meg.) Mivel
\(\displaystyle \frac{R\omega^2}{g}=\frac{1{,}5\cdot 10^{11}~{\rm m}}{9{,}8~\rm m/s^2}\left(\frac{2\pi}{1~\text{év}}\right)^2\approx 6\cdot10^{-4}, \)
a relatív súlyváltozás tehát
\(\displaystyle \frac{\Delta G}{G_0}\approx 7\cdot 10^{-12}.\)
Összefoglalva arra jutottunk, hogy az Egyenlítőn éjfélkor a testek az átlagos súlyukhoz képest \(\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{-12}\)-szer nehezebbek, délben pedig ugyanennyivel könnyebbek. Ennek a súlyváltozásnak azonban nem egyszerűen az az oka, hogy a Nap gravitációs tere éjfélkor lefelé, délben pedig felfelé húzza a testet, hiszen a testek nem állnak, hanem keringenek a Nap körül. Ilyen pontossággal a testek súlyát nem tudjuk megmérni, tehát a súlyváltozást a gyakorlatban aligha lehet kísérletileg kimutatni.
Megjegyzés. A fenti megoldás során az Egyenlítő síkjának és a keringés síkjának \(\displaystyle 23{,}^\circ\)-os hajlásszögét nem vettük számításba. Ha ezt megtesszük, a fenti értéktől kb. 10%-kal eltérő eredményt kapunk, tehát a relatív súlyváltozás nagyságrendje ugyanannyinak adódik.
Statistics:
37 students sent a solution. 6 points: Ludányi Levente, Tóth Ábel. 4 points: 3 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students. 0 point: 27 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2021