Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5307. feladat (2021. március)

P. 5307. Egy szivattyú szívássebessége \(\displaystyle 150~\mathrm{cm}^3/\mathrm{s}\). Mennyi időre van szükség ahhoz, hogy egy háromliteres lombikban lévő levegő nyomását szivattyúzással a normál \(\displaystyle 10^5\) Pa-ról ennek ezredrészére csökkentsük izotermikusan?

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.


I. megoldás. A szivattyú szívássebességét értelmezhetjük úgy, hogy a 3000 cm\(\displaystyle ^3\) térfogatú gázt (egy szelepekkel ellátott dugattyú segítségével) minden másodpercben 3150 cm\(\displaystyle ^3\)-re tágítjuk, vagyis a nyomását izotermikusan

\(\displaystyle p'=\frac{3000}{3150},p_0=0{,}952\,p_0\)

értékre csökkentjük. Ezt \(\displaystyle N\)-szer megismételve a nyomás akkor csökken az eredeti érték ezred részére, ha

\(\displaystyle 0{,}952^N=10^{-3},\)

vagyis

\(\displaystyle N=\frac{\log 10^{-3}}{\log 0{,}952}\approx 142.\)

A kívánt nyomáscsökkenés tehát kb. 142 s, vagyis 2,4 perc alatt valósítható meg.

A nyomás csökkentése kisebb lépésekben is megoldható. Ha például 0,1 másodpercenként 15 cm\(\displaystyle ^3\) levegőt szivattyútunk ki a lombikból, akkor egy-egy lépés során a nyomás

\(\displaystyle \frac{p'}{p_0}=\frac{3000}{3015}=0{,}995\)

arányban csökken, akkor a lépések száma:

\(\displaystyle N=\frac{\log 10^{-3}}{\log 0{,}995}\approx 1385,\)

tehát a szivattyúzás ideje 138,5 másodperc, azaz kb. 2,3 perc lesz.

II. megoldás. Ha másodpercenként 150 cm\(\displaystyle ^3\)-t szivattyúzunk ki állandó hőmérséklet mellett a 3000 cm\(\displaystyle ^3\)-es lombikból, akkor másodpercenként 150/3000 = 1/20-ával csökken a nyomás. Tehát a nyomás egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) időre vonatkoztatott csökkenése:

\(\displaystyle \frac{\Delta p }{\Delta t} = - p(t) \cdot \frac{1}{20~\rm s},\)

vagyis (folytonos működésű szivattyúnál) a nyomás csökkenését meghatározó differenciálegyenlet:

\(\displaystyle p'(t)=-\lambda\,p(t),\)

ahol \(\displaystyle \lambda=\frac{1}{20~\rm s}\). A nyomás csökkenésének egyenlete ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások \(\displaystyle m'(t)=-\lambda\,m(t)\) egyenlete, tehát a megoldása is ahhoz hasonló:

\(\displaystyle p(t)=p_0\, {\rm e}^{-\lambda t}.\)

Esetünkben a szivattyúzás \(\displaystyle T\) idejére fennáll

\(\displaystyle 10^{-3}p_0=p_0\, {\rm e}^{-\lambda T},\)

ahonnan

\(\displaystyle T=\frac{\ln 10^{-3}}{\lambda}=138{,}2~{\rm s}\approx2{,}3~{\rm perc}.\)


Statisztika:

A P. 5307. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai