Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5308. feladat (2021. március)

P. 5308. Egy 24 cm átmérőjű, gömb alakú tejüveg lámpabúrában a villanykörte kicsiny izzószála a búra közepétől 3 cm-re tolódott el. Az izzószál közepét a gömb középpontjával összekötő egyenes mentén, azzal kis szöget bezárva terjedő és a búra faláról többszörösen visszaverődő fénysugarak így az izzószálnak olyan két valódi képét is létre tudják hozni, amelyek 2-2 cm-re vannak a gömb középpontjától. Hogyan keletkeznek ezek a képek, és hogyan aránylik egymáshoz e két kép nagysága?

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú búra tükröző falának mint gömbtükörnek \(\displaystyle f=\frac{R}{2}=6~\)cm a fókusztávolsága.

A leképezési törvény szerint a búrától \(\displaystyle t\) távolságból lévő fényforrás (tárgy) képe \(\displaystyle k=\frac{tf}{t-f}\) távolságban jön létre. Ha minden távolságot cm egységekben mérünk, akkor \(\displaystyle k=6t/(t-6)\).

Megjegyzés. Ha a búrának az optikai tengely közelében lévő két kis felületdarabját tükröző bevonattal látjuk el, akkor csak az optikai tengelyhez közeli sugarak vesznek részt a képalkotásban, és ezekre érvényesek a szokásos közelítések, alkalmazható a leképezési törvény.

Ha többszörös tükröződés során valamelyik tárgytávolság \(\displaystyle t_n\), a hozzá tartozó képtávolság

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle k_n=\frac{6t_n}{t_n-6},\)

ami a szemközti tükörtől \(\displaystyle 24-k_n\) távolságra van, és így a következő leképezés tárgytávolsága

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle t_{n+1}=24-\frac{6t_n}{t_n-6}\equiv 18\frac{t_n-8}{t_n-6}.\)

Ez a rekurziós képlet megadja az egymást követő tükröződések hatására kialakuló képek helyet, amennyiben ismerjük a legelső \(\displaystyle t_1\) távolságot. Esetünkben a jobbra kiinduló fénysugarakra \(\displaystyle t_1=12-3=9~\)cm, a bal felé induló sugarakra pedig \(\displaystyle t_1=12+3=15~\rm cm\). A feladat követelményének az felel meg, ha van olyan \(\displaystyle n=N\) egész szám, amelyre

\(\displaystyle \vert k_N-12\vert=2,\)

vagyis \(\displaystyle k_N=14\) és 10 (centiméter) valamelyike.

Az izzószálból balra, illetve jobbra kiinduló fénysugarakra a tárgy- és képtávolságok (1) és (2) szerint így követik egymást:

A második táblázatban a (\(\displaystyle X\gg 1\)) jel arra utal, hogy a kép valahol nagyon messze (vagy sehol se) keletkezik, mert a fénysugarak majdnem pontosan párhuzamosan haladnak. A táblázatok adatait nézve megállapíthatjuk, hogy a balra induló fénysugarak már az első tükröződés után a gömb középpontjától 2 cm-re, annak bal oldalán. A jobbra induló fénysugarak 5 tükröződés után teszik meg ugyanezt, és a kép a gömb középpontjának jobb oldalánál keletkezik.

A képeknek a tárgy méretéhez viszonytott nagyságát (a nagyítást) az egyes tükröződések során kiszámítható nagyítások szorzata adja meg:

\(\displaystyle N_\text{balra}=\frac{k_1}{t_1}=\frac{2}{3},\)

illetve

\(\displaystyle N_\text{jobbra}=\frac{k_1}{t_1} \cdot\frac{X}{t_2} \cdot\frac{k_3}{X} \cdot\frac{k_4}{t_4} \cdot\frac{k_5}{t_5} =\frac{2}{3},\)

tehát a két kép nagysága megegyezik.

Megjegyzések. A geometriai optikai feladatok megoldásakor célszerű a problémát egyszerre vizsgálni algebrailag és geometriailag. Most, ebben a feladatban előfordul, hogy egy fókuszsíkban lévő pont a tárgypont, ebből indul ki széttartó sugárnyaláb. Ez párhuzamos nyalábként verődik vissza, s halad a másik oldali tükröző felület felé. Miután onnan visszaverődik, egy olyan összetartó nyalábbá alakul, mely e második tükör fókuszsíkjának valamelyik pontja felé halad. Geometriailag könnyű belátni, hogy ez a képpont ugyanolyan messze lesz az optikai tengelytől, mint amilyen messze volt az eredeti tárgypont. Ezzel a geometriai érveléssel kikerülhető az az algebrai képlet, amely szerint a nagyítás az egymás utáni nagyítások szorzata, és amely értelmét veszti a fókuszsík egy pontjából kiinduló, majd párhuzamosan haladó fénysugarak esetében.

2. Be lehet látni, hogy bármelyik irányban induló fénysugár esetében a táblázat további folytatásával kapható \(\displaystyle \vert k_i-12\vert\) sorozat monoton csökken és nullához tart, tehát a ki nem számított képek egyike sem lehet éppen 2 cm-re a búra középpontjától. Ennek bebizonyítását azonban nem kérte a feladat, a megoldás enélkül is teljes értékűnek tekintendő.


Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Somlán Gellért, Tóth Ábel.
4 pontot kapott:Varga Vázsony.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai