Problem P. 5308. (March 2021)
P. 5308. In a 24 cm diameter spherical milk glass lampshade, the small filament of the light bulb is 3 cm from the centre of the sphere. Two real images of the filament, each at a distance of 2 cm from the filament can be formed by the light rays which are reflected several times from the surface of the glass, and which originally travelled along the line which nearly coincides with the line joining the centre of the sphere and the filament, enclosing a small angle with it. How are these images formed and what is the ratio of the size of these images?
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú búra tükröző falának mint gömbtükörnek \(\displaystyle f=\frac{R}{2}=6~\)cm a fókusztávolsága.
A leképezési törvény szerint a búrától \(\displaystyle t\) távolságból lévő fényforrás (tárgy) képe \(\displaystyle k=\frac{tf}{t-f}\) távolságban jön létre. Ha minden távolságot cm egységekben mérünk, akkor \(\displaystyle k=6t/(t-6)\).
Megjegyzés. Ha a búrának az optikai tengely közelében lévő két kis felületdarabját tükröző bevonattal látjuk el, akkor csak az optikai tengelyhez közeli sugarak vesznek részt a képalkotásban, és ezekre érvényesek a szokásos közelítések, alkalmazható a leképezési törvény.
Ha többszörös tükröződés során valamelyik tárgytávolság \(\displaystyle t_n\), a hozzá tartozó képtávolság
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle k_n=\frac{6t_n}{t_n-6},\) |
ami a szemközti tükörtől \(\displaystyle 24-k_n\) távolságra van, és így a következő leképezés tárgytávolsága
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle t_{n+1}=24-\frac{6t_n}{t_n-6}\equiv 18\frac{t_n-8}{t_n-6}.\) |
Ez a rekurziós képlet megadja az egymást követő tükröződések hatására kialakuló képek helyét, amennyiben ismerjük a legelső \(\displaystyle t_1\) távolságot. Esetünkben a jobbra kiinduló fénysugarakra \(\displaystyle t_1=12-3=9~\)cm, a bal felé induló sugarakra pedig \(\displaystyle t_1=12+3=15~\rm cm\). A feladat követelményének az felel meg, ha van olyan \(\displaystyle n=N\) egész szám, amelyre
\(\displaystyle \vert k_N-12\vert=2,\)
vagyis \(\displaystyle k_N=14\) és 10 (centiméter) valamelyike.
Az izzószálból balra, illetve jobbra kiinduló fénysugarakra a tárgy- és képtávolságok (1) és (2) szerint így követik egymást:
A második táblázatban a (\(\displaystyle X\gg 1\)) jel arra utal, hogy a kép valahol nagyon messze (vagy sehol se) keletkezik, mert a fénysugarak majdnem pontosan párhuzamosan haladnak. A táblázatok adatait nézve megállapíthatjuk, hogy a balra induló fénysugarak már az első tükröződés után a gömb középpontjától 2 cm-re, annak bal oldalán. A jobbra induló fénysugarak 5 tükröződés után teszik meg ugyanezt, és a kép a gömb középpontjának jobb oldalánál keletkezik.
A képeknek a tárgy méretéhez viszonytott nagyságát (a nagyítást) az egyes tükröződések során kiszámítható nagyítások szorzata adja meg:
\(\displaystyle N_\text{balra}=\frac{k_1}{t_1}=\frac{2}{3},\)
illetve
\(\displaystyle N_\text{jobbra}=\frac{k_1}{t_1} \cdot\frac{X}{t_2} \cdot\frac{k_3}{X} \cdot\frac{k_4}{t_4} \cdot\frac{k_5}{t_5} =\frac{2}{3},\)
tehát a két kép nagysága megegyezik.
Megjegyzések. A geometriai optikai feladatok megoldásakor célszerű a problémát egyszerre vizsgálni algebrailag és geometriailag. Most, ebben a feladatban előfordul, hogy egy fókuszsíkban lévő pont a tárgypont, ebből indul ki széttartó sugárnyaláb. Ez párhuzamos nyalábként verődik vissza, s halad a másik oldali tükröző felület felé. Miután onnan visszaverődik, egy olyan összetartó nyalábbá alakul, mely e második tükör fókuszsíkjának valamelyik pontja felé halad. Geometriailag könnyű belátni, hogy ez a képpont ugyanolyan messze lesz az optikai tengelytől, mint amilyen messze volt az eredeti tárgypont. Ezzel a geometriai érveléssel kikerülhető az az algebrai képlet, amely szerint a nagyítás az egymás utáni nagyítások szorzata, és amely értelmét veszti a fókuszsík egy pontjából kiinduló, majd párhuzamosan haladó fénysugarak esetében.
2. Be lehet látni, hogy bármelyik irányban induló fénysugár esetében a táblázat további folytatásával kapható \(\displaystyle \vert k_i-12\vert\) sorozat monoton csökken és nullához tart, tehát a ki nem számított képek egyike sem lehet éppen 2 cm-re a búra középpontjától. Ennek bebizonyítását azonban nem kérte a feladat, a megoldás enélkül is teljes értékűnek tekintendő.
Statistics:
9 students sent a solution. 5 points: Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Somlán Gellért, Tóth Ábel. 4 points: Varga Vázsony. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, March 2021