Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5309. feladat (2021. március)

P. 5309. Három töltetlen fémgömböt úgy helyezünk el, hogy középpontjuk egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög csúcsaira essen. A gömbök sugara rendre \(\displaystyle R\), \(\displaystyle R\), illetve \(\displaystyle r = \frac13 R\), és sokkal kisebbek a háromszög oldalánál. Először az első gömbre \(\displaystyle Q\) töltést viszünk fel. Ezután úgy viszünk át töltést a másik kettőre, hogy egy hosszú fémhuzal végeit hozzáérintjük előbb az első és a harmadik, majd az első és a második gömbhöz. Mekkora és milyen irányú lesz az elektromos térerősség a szabályos háromszög középpontjában?

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A fémhuzallal összekötött gömbök között a kapacitások, vagyis a sugarak arányában oszlik meg a töltés. Ennek megfelelően a gömbök töltése rendre \(\displaystyle Q_1=\tfrac38Q\), \(\displaystyle Q_2=\tfrac38Q\) és \(\displaystyle Q_3=\tfrac14Q\) lesz. A háromszög középpontja \(\displaystyle a/\sqrt{3}\) távol van a csúcspontoktól, így az egyes töltések által létrehozott térerősség nagysága:

\(\displaystyle E_1=E_2=\frac38\, \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}=\frac98 \,\frac{kQ}{a^2},\quad\text{és}\quad E_3=\frac14 \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}=\frac34\, \frac{kQ}{a^2}.\)

Mivel \(\displaystyle \boldsymbol E_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol E_2\) azonos nagyságú és egymással \(\displaystyle 120^\circ\)-os szöget bezáró vektorok, az eredőjük is \(\displaystyle \frac38\, \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}\) nagyságú, \(\displaystyle \boldsymbol E_3\)-mal ellentétes irányú vektor lesz. A három töltés által létrehozott eredő térerősség tehát a harmadik (\(\displaystyle r\) sugarú) fémgömb felé mutat, és a nagysága

\(\displaystyle E_\text{eredő}=E_1-E_3=\frac38\,\frac{kQ}{a^2}\)

.

Megjegyzés. Érdekes, hogy \(\displaystyle E_\text{eredő}=kQ_1/a^2\), vagyis éppen akkora, mint amilyen erős elektromos teret \(\displaystyle Q_1\) egymagában hozna létre a másik két fémgömb bármelyikének helyén. Ez azonban merő véletlen, kizárólag csak a sugarak \(\displaystyle 1:3\)-as arányánál teljesül.


Statisztika:

A P. 5309. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai