Problem P. 5309. (March 2021)

P. 5309. Three uncharged metal spheres are placed to the vertices of an equilateral triangle of sides \(\displaystyle a\). The radius of the first, the second and the third sphere are \(\displaystyle R\), \(\displaystyle R\), and \(\displaystyle r = \frac13 R\), respectively. Each radius is much smaller than the side of the triangle. First the first sphere is charged to \(\displaystyle Q\), and then the other two spheres are also charged, by connecting the two ends of a long wire to the first and the third spheres and then connecting to the first and the second spheres. What will the direction of the electric field be at the centre of the equilateral triangle?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A fémhuzallal összekötött gömbök között a kapacitások, vagyis a sugarak arányában oszlik meg a töltés. Ennek megfelelően a gömbök töltése rendre \(\displaystyle Q_1=\tfrac38Q\), \(\displaystyle Q_2=\tfrac38Q\) és \(\displaystyle Q_3=\tfrac14Q\) lesz. A háromszög középpontja \(\displaystyle a/\sqrt{3}\) távol van a csúcspontoktól, így az egyes töltések által létrehozott térerősség nagysága:

\(\displaystyle E_1=E_2=\frac38\, \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}=\frac98 \,\frac{kQ}{a^2},\quad\text{és}\quad E_3=\frac14 \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}=\frac34\, \frac{kQ}{a^2}.\)

Mivel \(\displaystyle \boldsymbol E_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol E_2\) azonos nagyságú és egymással \(\displaystyle 120^\circ\)-os szöget bezáró vektorok, az eredőjük is \(\displaystyle \frac38\, \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}\) nagyságú, \(\displaystyle \boldsymbol E_3\)-mal ellentétes irányú vektor lesz. A három töltés által létrehozott eredő térerősség tehát a harmadik (\(\displaystyle r\) sugarú) fémgömb felé mutat, és a nagysága

\(\displaystyle E_\text{eredő}=E_1-E_3=\frac38\,\frac{kQ}{a^2}.\)

Megjegyzés. Érdekes, hogy \(\displaystyle E_\text{eredő}=kQ_1/a^2\), vagyis éppen akkora, mint amilyen erős elektromos teret \(\displaystyle Q_1\) egymagában hozna létre a másik két fémgömb bármelyikének helyén. Ez azonban merő véletlen, kizárólag csak a sugarak \(\displaystyle 1:3\)-as arányánál teljesül.

Statistics:

45 students sent a solution.
4 points:	Albert Máté, Biebel Botond, Csapó Tamás, Dóra Márton, Dózsa Levente, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mozolai Bende Bruno, Páhán Anita Dalma, Puskás Attila, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabó Márton, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András.
3 points:	Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Jirkovszky-Bari László, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Köpenczei Csanád, Perényi Barnabás, Schmercz Blanka, Strinyi Péter, Török 111 László, Varga Vázsony.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2021