Problem P. 5312. (March 2021)

P. 5312. We have two cylinder-shaped containers, the first contains a sample of monatomic gas of volume 3 dm\(\displaystyle {}^3\), at a pressure of \(\displaystyle 2\cdot10^5\) Pa, and the number of particles in it is \(\displaystyle 5\cdot10^{22}\). The second has a volume of 4 dm\(\displaystyle {}^3\) and contains a sample of diatomic gas of \(\displaystyle 2.5\cdot10^{22}\) particles at a pressure of \(\displaystyle 0.2\cdot 10^5\) Pa.

\(\displaystyle a)\) Which gas is warmer, and by what factor is the temperature of the warmer gas greater than that of the colder?

\(\displaystyle b)\) What is the energy of each sample of gas?

\(\displaystyle c)\) How much energy can be related to a gas particle and to one degree of freedom of a particle?

(3 pont)

Deadline expired on April 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az ideális gáz állapotegyenlete szerint

\(\displaystyle p_1V_1 =N_1kT_1, \qquad \text{illetve}\qquad p_2V_2 =N_2kT_2.\)

A két egyenlet hányadosából

\(\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{p_1}{p_2}\,\frac{V_1}{V_2}\,\frac{N_2}{N_1}=\frac{2\cdot 10^5}{0{,}2\cdot10^5}\, \frac{3}{4}\,\frac{ 2{,}5\cdot10^{22}}{5\cdot10^{22}}=\frac{15}{4}=3{,}75. \)

Tehát az első gáz a melegebb, abszolút hőmérséklete 3,75-ször nagyobb a második gáz hőmérsékleténél.

\(\displaystyle b)\) A belső energiát az \(\displaystyle E=\frac{f}{2}pV\) összefüggésből számíthatjuk ki. Mivel \(\displaystyle f_1=3\) és \(\displaystyle f_2=5\),

\(\displaystyle E_1=\frac{3}{2}\,(2\cdot 10^5~{\rm Pa})\cdot (3\cdot10^{-3}~\rm m^3)=900~\rm J,\)

illteve

\(\displaystyle E_2=\frac{5}{2}\,(0{,}2\cdot 10^5~{\rm Pa})\cdot (4\cdot10^{-3}~\rm m^3)=200~\rm J.\)

\(\displaystyle c)\) Az egy részecskére jutó átlagos energia:

\(\displaystyle \overline{E}_1= \frac{E_1}{N_1}=1{,}8\cdot10^{-20}~{\rm J},\)

és

\(\displaystyle \overline{E}_2= \frac{E_2}{N_2}= 8\cdot10^{-21}~\rm J.\)

Egy-egy szabadsági fokra \(\displaystyle \overline{E}/f\) energia jut, vagyis

\(\displaystyle \frac{\overline{E}_1}{f_1}= 6\cdot10^{-21}~{\rm J}\)

és

\(\displaystyle \frac{\overline{E}_2}{f_2}=1{,}6\cdot10^{-21}~{\rm J}.\)

Statistics:

70 students sent a solution.
3 points:	Bagu Bálint, Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Biebel Botond, Boda Benedek János, Bubics Gergely Dániel, Csapó Tamás, Csonka Illés, Dóra Márton, Dózsa Levente, Fábián-Kovács Árpád, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Horváth Antal, Jirkovszky-Bari László, Juhász Júlia, Juhász Márk Hunor, Kaltenecker Balázs Bence, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Könye Sólyom, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Nemeskéri Dániel, Németh Kristóf, Perényi Barnabás, Schäffer Bálint, Schmercz Blanka, Simon László Bence, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Sulok Yahyaa, Szász Levente, Török 111 László, Varga Vázsony, Viczián Máté.
2 points:	18 students.
1 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, March 2021