Problem P. 5313. (March 2021)
P. 5313. A beam of protons is aimed at a target, which is at rest. If the kinetic energy of the protons in the beam is greater than a critical value of \(\displaystyle E_\text{crit}\), then the incident protons may generate positive pions (\(\displaystyle \pi^+\)) by colliding the protons of the target, which can be considered being at rest, accordingly the following equation:
\(\displaystyle \mathrm{p}^+ +\mathrm{p}^+ \Rightarrow\mathrm{p}^+ +\mathrm{n}^0 +\pi^+. \)
Determine the value of \(\displaystyle E_\text{crit}\) in MeV.
Available data: the rest energy of a proton is 938.27 MeV, the rest energy of a neutron is 939.57 MeV and the rest energy of a pion is 139.57 MeV.
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az energia és az impulzus között mindegyik részecskére fennáll az
\(\displaystyle E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\)
összefüggés. ,,Beülve'' a protonok tömegközépponti rendszerébe könnyen belátható, hogy ha a beeső protonnyaláb energiája éppen akkora, mint a részecskereakcióhoz szükséges minimális energia, akkor a keletkező proton, neutron és pion nyugalomban marad. A laborrendszerbe visszatérve ez azt jelenti, hogy a három részecske együtt mozog, azaz úgy kezelhető, mintha egyetlen, \(\displaystyle m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi}\) tömegű részecske lenne. Az energiamegmaradás a laborrendszerben így írható tehát:
\(\displaystyle \sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}+m_{\rm p}c^2=\sqrt{p^2c^2+(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2c^4},\)
ahol \(\displaystyle p\) a beeső protonok impulzusa. A fenti egyenletet négyzetre emelve kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2m_{\rm p}\sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}=(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2c^2-2 m_{\rm p}^2 c^2,\)
ahonnan a beeső proton kritikus mozgási energiája is kifejezhető:
\(\displaystyle E_{\textrm{krit}}=\sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}-m_{\rm p}c^2= \frac{(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2-4m_{\rm p}^2}{2m_{\rm p}}\,c^2=292~\textrm{ MeV}.\)
Megjegyzés. Ha csak a reakció előtti és utáni nyugalmi energiák különbségéből számítjuk ki a kritikus energiát, akkor 141 MeV-et kapunk, ami hibás eredmény, mert ellentmond az impulzusmegmaradás törvényének.
Statistics:
24 students sent a solution. 5 points: Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Somlán Gellért, Téglás Panna, Tóth Ábel. 4 points: Albert Máté, Gurzó József, Selmi Bálint. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 8 students. 0 point: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2021