Problem P. 5318. (April 2021)
P. 5318. According to some ideas, the hypothetical particles of dark matter (blacktons) move in intergalactic space such that a force opposite to their speed is exerted on them. It is not known yet, how this force depends on the speed of the particle, but it is known that the ratio of the restoring forces of two regions in which the density is different is the same for any speed. Some blackton particles with initial velocity of \(\displaystyle v_0\) stop after covering a distance of 3 light years, in some low-density region, whereas they stop in a distance of 2 light years in some greater-density region. How much distance do blacktons with initial speed of \(\displaystyle v_0\) cover if they first travel in the greater-density region of width 1.5 light years, and then they enter into the lower-density region?
(5 pont)
Deadline expired on May 17, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a ritkább térrészben tetszőleges \(\displaystyle v\) kezdősebességgel induló részecskének a megállásig megtett útja \(\displaystyle s_1=f_1(v)\), a sűrűbb közegben ugyanez \(\displaystyle s_2=f_2(v)\). Az \(\displaystyle f_1(v)\) és \(\displaystyle f_2(v)\) függvények alakját az erőtörvény ismerete nélkül nem tudjuk megadni, de belátjuk, hogy a megtett utak aránya \(\displaystyle v\)-től független állandó:
\(\displaystyle \frac{f_1(v)}{f_2(v)}=\frac32.\)
Megjegyzés. Korábban már megjelent a KöMaL-ban két, a mostanihoz hasonló feladat. A P. 5244. feladatban (2020. szeptember) a lassulás állandó \(\displaystyle a_0\) nagyságú volt, ilyenkor \(\displaystyle f(v)=v^2_0/(2a_0)\). A 2020. decemberben kitűzött P. 5282. feladatban a fékezőerő a sebességgel arányos volt, ebben az esetben \(\displaystyle f(v)=k\cdot v\). Mindkét problémánál igaz, hogy az \(\displaystyle \frac{f_1(v)}{f_2(v)}\) arány \(\displaystyle v\)-től független állandó. Ez az érdekes tulajdonság tetszőleges erőtörvény esetén érvényes, ha az erők aránya minden sebességnél ugyanakkora.
Legyen az egyik közegben a fékezőerő \(\displaystyle F_1(v)\), a másikban \(\displaystyle F_2(v)\), a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességű részecske mozgási energiája pedig \(\displaystyle E_0\). A newtoni mechanikában \(\displaystyle E_0=\tfrac12mv_0^2\), a relativisztikus törvények szerint pedig
\(\displaystyle E_0=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0c^2.\)
A további megfontolásainknál nem lényeges \(\displaystyle E(v_0)\) konkrét alakja, tehát az eredményünk a fénysebességhez közeli sebességgel induló részecskékre is érvényes lesz. Azt azonban tudjuk, hogy az egyforma sebességgel induló részecskék mozgási energiája kezdetben ugyanakkora.
Alkalmazzuk a munkatételt mindkét esetben egy \(\displaystyle E_0\) mozgási energiával induló részecskére. Az éppen \(\displaystyle v\) sebességű részecske mozgási energiájának megváltozása (csökkenése) egy kicsiny \(\displaystyle \Delta x\) út megtétele után
\(\displaystyle \Delta E(v)=-F(v)\cdot \Delta x,\)
azaz
\(\displaystyle \Delta x=\frac{\vert\Delta E(v)\vert}{F(v)}.\)
Összegezzük a kicsiny elmozdulásokat a részecske teljes útvonalára, vagyis amíg a mozgási energia \(\displaystyle E_0\)-ról nullára csökken. Írjuk fel a megtett út képletét mindkét térrészben végbemenő mozgásra:
\(\displaystyle \sum \Delta x=\sum\frac{\Delta E(v)}{F(v)},\)
vagyis
\(\displaystyle s_1=\sum\frac{\Delta E(v)}{F_1(v)},\qquad \text{illetve} \qquad s_2=\sum\frac{\Delta E(v)}{F_2(v)}.\)
Tudjuk, hogy \(\displaystyle F_1(v)\) és \(\displaystyle F_2(v)\) aránya a \(\displaystyle v\) sebességtől független állandó, aminek nagysága \(\displaystyle \frac23\), hiszen \(\displaystyle \frac{s_1}{s_2}=\frac32.\)
A sűrűbb közegben 1,5 fényév megtétele után a részecske sebessége valamekkora \(\displaystyle v^*\) értékre csökken, de még nem áll meg. Ha továbbra is a sűrűbb térrészben haladna, akkor még 0,5 fényévnyi utat tenne meg, tehát \(\displaystyle f_2(v^*)=0{,}5\) fényév. Ha viszont a részecske \(\displaystyle v^*\) kezdősebességgel a ritkább térrészben halad tovább, a megállásig további
\(\displaystyle f_1(v^*)=\tfrac{3}{2}f_2(v^*)=0{,}75~\text{fényév}\)
utat tesz meg.
A sötét anyag (hipotetikus) részecskéi tehát összesen \(\displaystyle 1{,}5+0{,}75=2{,}25\) fényév utat tesznek meg a megállásukig.
Statistics:
25 students sent a solution. 5 points: Bognár 171 András Károly, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 points: Barna Benedek. 3 points: 1 student. 2 points: 16 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2021