Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5319. feladat (2021. április)

P. 5319. Vízszintes síkon elcsúsztatunk egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, vékony, homogén pálcát. Egy pillanatban a pálca egyik végének sebességvektora \(\displaystyle \boldsymbol v_1\), a másiké \(\displaystyle \boldsymbol v_2\). Mekkora ebben a pillanatban

\(\displaystyle a)\) a pálca lendülete;

\(\displaystyle b)\) a tömegközéppontra vonatkozó perdülete;

\(\displaystyle c)\) a teljes mozgási energiája?

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a pálca végpontjainak pillanatnyi helyvektora (egy önkényesen választott \(\displaystyle O\) ponthoz viszonyítva legyen \(\displaystyle \boldsymbol r_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol r_2\). A pálca felezőpontjába (tömegközéppontjába) mutató vektor:

\(\displaystyle \boldsymbol r_\text{tkp.}=\frac{ \boldsymbol r_1+\boldsymbol r_2 }{2}.\)

Ennek a vektornak a változási sebessége

\(\displaystyle \boldsymbol v_\text{tkp.}=\frac{ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 }{2},\)

és így a pálca lendülete:

\(\displaystyle \boldsymbol I=m \boldsymbol v_\text{tkp.}=m\frac{ \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 }{2}.\)

Megjegyzés. A \(\displaystyle \boldsymbol v_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol v_2\) vektorok nem választhatók meg tetszőlegesen, mert a pálca hossza időben állandó, emiatt a két sebesség különbsége a pálcára merőleges kell, hogy legyen. Ha \(\displaystyle \boldsymbol \ell\) a pálca egyik végétől a másik végéig mutató vektor, akkor a pálca hosszának állandóságát kifejező vektoregyenlet:

\(\displaystyle \left(\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right)\cdot \boldsymbol \ell=0,\qquad\text{azaz}\qquad \boldsymbol v_1\cdot \boldsymbol \ell= \boldsymbol v_2\cdot \boldsymbol \ell.\)

A fenti képletekben a ,,pont'' a vektorok skaláris szorzatát jelöli.

\(\displaystyle b)\) A végpontoknak a tömegközépponthoz viszonyított sebessége:

\(\displaystyle \boldsymbol u_1= \boldsymbol v_1 -\boldsymbol v_\text{tkp}=\frac{\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2}{2},\)

illetve

\(\displaystyle \boldsymbol u_2= \boldsymbol v_2 -\boldsymbol v_\text{tkp.}=\frac{\boldsymbol v_2-\boldsymbol v_1}{2}=-\boldsymbol u_1.\)

A pálca tehetetlenségi nyomatéka

\(\displaystyle \Theta=\frac{m\ell^2 }{12},\)

a szögsebessége pedig

\(\displaystyle \omega=\frac{\vert \boldsymbol u_1 \vert}{\ell/2}=\frac{1}{\ell}\vert \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2 \vert,\)

és így a tömegközéppontra vanatkoztatott perdülete:

\(\displaystyle N=\Theta\omega=\frac{m\ell}{12}\vert \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2 \vert.\)

A perdületet egy – a síkra merőleges – vektorként is értelmezhetjük, ami \(\displaystyle \boldsymbol\ell=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2\) segítségével így adható meg:

\(\displaystyle \boldsymbol N= \frac{1}{12}m\,\boldsymbol \ell\times\left( \boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right).\)

(A ,,kereszt'' a vektoriális szorzatot jelöli. )

\(\displaystyle c)\) A pálca teljes mozgási energiája a tömegközépponthoz tartozó mozgási energia és a forgási energia összegeként adhjató meg:

\(\displaystyle E_{\text{összes}}=E_{\text{tkp.}}+E_{\text{forgás}}=\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2_{\text{tkp.}}+\frac{1}{2}\Theta\omega^2.\)

A korábban kiszámított értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle E_{\text{összes}} =\frac{m}{8}\, \left(\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2\right)^2+\frac{m}{24} \left(\boldsymbol v_1-\boldsymbol v_2\right)^2=\frac{m}{6}\, \left(v_1^2+v_2^2+\boldsymbol v_1\cdot\boldsymbol v_2 \right).\)


Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bonifert Balázs, Gábriel Tamás, Horváth 999 Anikó, Köpenczei Csanád, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:Barna Benedek, Gurzó József, Hauber Henrik, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Szász Levente, Téglás Panna.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai