Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5320. feladat (2021. április)

P. 5320. Függőleges falból két azonos magasságban bevert szög áll ki, melyek távolsága \(\displaystyle L\). A szögekre egy kötelet fektetünk úgy, hogy annak belógása \(\displaystyle H\). Becsüljük meg a kötél teljes hosszát, ha tudjuk, hogy

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle H\ll L\);

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle L \ll H\).

A súrlódás mindenütt elhanyagolható.

Közli: Berke Martin, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) A kötél belógó részét a szegeknél egy-egy \(\displaystyle F_3\) nagyságú, érintő irányú erő tartja, aminek vízszintes összetevője \(\displaystyle \pm F_1\), föggőleges komponense pedig \(\displaystyle F_2\), ami éppen a belógó rész súlyának a fele. Jelöljük a kötél hosszegységre eső súlyát \(\displaystyle \gamma\)-val, a függőlegesen lelógó rész hosszát pedig \(\displaystyle X\)-szel (1. ábra).


1. ábra

\(\displaystyle a)\) Legyen \(\displaystyle H\ll L\). Ekkor a belógó kötél hossza jó közelítéssel \(\displaystyle L\)-nek vehető, így a súlya \(\displaystyle \gamma L \), és az egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle 2F_2=\gamma L.\)

A függőlegesen lelógó rész súlya \(\displaystyle \gamma X\), és ezt a kötéldarabot függőlegesen felfelé a kötél többi része \(\displaystyle F_3\) erővel húzza. Az erők egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle F_3=\gamma X.\)

Mivel \(\displaystyle H\ll L\), a két szög és a kötél felezőpontja majdnem egy egyenesbe esik, így a rájuk illeszkedő görbe jó közelítéssel parabola. A kötél érintőjének meredeksége a szög közvetlen közelében

\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{F_2}{F_1},\)

ami a parabola ismert tulajdonsága szerint

\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{4H}{L}.\)

Fennáll tehát, hogy

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle \frac{F_2}{F_1}=\frac{4H}{L}\ll 1,\)

és így

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle F_3 =\sqrt{F_1^2+F_2^2}\approx F_1.\)

Az (1)-(4) összefüggések egybevetéséből kapjuk, hogy

\(\displaystyle X\approx \frac{L^2}{8H},\)

így a kötél teljes hossza:

\(\displaystyle \ell=2X+L=\frac{L^2}{4H}\left(1+4\frac{H}{L}\right) \approx \frac{L^2}{4H}.\)

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle L \ll H\) esetén a belógó kötél mindkét fele majdnem függőleges (2. ábra), így \(\displaystyle X\approx H\), és a teljes kötélhossz

\(\displaystyle \ell\approx 2X+2H\approx 4H.\)


2. ábra

Megjegyzés. Elég hosszú kötéllel mind az \(\displaystyle a)\), mind a \(\displaystyle b)\) helyzet megvalósítható. Mindkét helyzet instabil az aszimmetrikus változtatásokkal szemben, a szimmetrikus változtatások esetén az \(\displaystyle a)\) eset stabil, míg a \(\displaystyle b)\) eset instabil (a kötél vagy lecsúszik, vagy átmegy az \(\displaystyle a)\) helyzetbe).


Statisztika:

A P. 5320. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai