Problem P. 5320. (April 2021)
P. 5320. Two nails at a distance of \(\displaystyle L\) are sticking out of a vertical wall at the same height. A piece of rope is placed to the nails such that it sags to a depth of \(\displaystyle H\). Estimate the length of the rope if it is known that
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle H\ll L\);
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle L \ll H.\)
Friction is negligible everywhere.
(5 pont)
Deadline expired on May 17, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A kötél belógó részét a szegeknél egy-egy \(\displaystyle F_3\) nagyságú, érintő irányú erő tartja, aminek vízszintes összetevője \(\displaystyle \pm F_1\), föggőleges komponense pedig \(\displaystyle F_2\), ami éppen a belógó rész súlyának a fele. Jelöljük a kötél hosszegységre eső súlyát \(\displaystyle \gamma\)-val, a függőlegesen lelógó rész hosszát pedig \(\displaystyle X\)-szel (1. ábra).
1. ábra
\(\displaystyle a)\) Legyen \(\displaystyle H\ll L\). Ekkor a belógó kötél hossza jó közelítéssel \(\displaystyle L\)-nek vehető, így a súlya \(\displaystyle \gamma L \), és az egyensúlyának feltétele:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 2F_2=\gamma L.\) |
A függőlegesen lelógó rész súlya \(\displaystyle \gamma X\), és ezt a kötéldarabot függőlegesen felfelé a kötél többi része \(\displaystyle F_3\) erővel húzza. Az erők egyensúlyának feltétele:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle F_3=\gamma X.\) |
Mivel \(\displaystyle H\ll L\), a két szög és a kötél felezőpontja majdnem egy egyenesbe esik, így a rájuk illeszkedő görbe jó közelítéssel parabola. A kötél érintőjének meredeksége a szög közvetlen közelében
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{F_2}{F_1},\)
ami a parabola ismert tulajdonsága szerint
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{4H}{L}.\)
Fennáll tehát, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{F_2}{F_1}=\frac{4H}{L}\ll 1,\) |
és így
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle F_3 =\sqrt{F_1^2+F_2^2}\approx F_1.\) |
Az (1)-(4) összefüggések egybevetéséből kapjuk, hogy
\(\displaystyle X\approx \frac{L^2}{8H},\)
így a kötél teljes hossza:
\(\displaystyle \ell=2X+L=\frac{L^2}{4H}\left(1+4\frac{H}{L}\right) \approx \frac{L^2}{4H}.\)
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle L \ll H\) esetén a belógó kötél mindkét fele majdnem függőleges (2. ábra), így \(\displaystyle X\approx H\), és a teljes kötélhossz
\(\displaystyle \ell\approx 2X+2H\approx 4H.\)
2. ábra
Megjegyzés. Elég hosszú kötéllel mind az \(\displaystyle a)\), mind a \(\displaystyle b)\) helyzet megvalósítható. Mindkét helyzet instabil az aszimmetrikus változtatásokkal szemben, a szimmetrikus változtatások esetén az \(\displaystyle a)\) eset stabil, míg a \(\displaystyle b)\) eset instabil (a kötél vagy lecsúszik, vagy átmegy az \(\displaystyle a)\) helyzetbe).
Statistics:
14 students sent a solution. 5 points: Dóra Márton, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Téglás Panna, Tóth Ábel. 4 points: Barna Benedek. 3 points: 3 students. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2021