Problem P. 5321. (April 2021)

P. 5321. Pistons with different masses, which can move frictionlessly, confine samples of oxygen and helium gas into vertical cylinders sealed at their bottoms. The volume of the gases is equal and they are at the same temperature. The two samples of gas are heated slowly to the same temperature. During the heating process the change in the internal energy of the oxygen gas is 2.5 times greater than that of the helium gas, and its work done during the expansion is 220 J greater than the work done by the sample of helium gas.

\(\displaystyle a)\) Determine the ratio of the pressure of the gases at their initial state.

\(\displaystyle b)\) How much heat was absorbed by the oxygen and by the helium during the heating process?

(4 pont)

Deadline expired on May 17, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a hélium mólszáma \(\displaystyle n_1\), nyomása \(\displaystyle p_1\), az oxigénre ugyanezek \(\displaystyle n_2\) és \(\displaystyle p_2\). A gáztörvény szerint

\(\displaystyle p_1V_1=n_1RT_1, \qquad \text{illetve} \qquad p_2V_1=n_2RT_1,\)

ahonnan

\(\displaystyle \frac{p_1}{p_2}=\frac{n_1}{n_2}.\)

Melegítés során a gázok nyomása (a külső légnyomás és a dugattyú súlyából adódó nyomás összege) változatlan marad, így a megváltozott térfogatok aránya:

\(\displaystyle \frac{V_1'}{V_2'}=\frac{n_1}{n_2}\cdot \frac{p_2}{p_1}=1,\)

vagyis a megváltozott térfogatok is ugyanakkorák.

Legyen a térfogatváltozás (mindkét gázra) \(\displaystyle \Delta V\). A tágulási munka \(\displaystyle p\Delta V\), a belső energia megváltozása pedig \(\displaystyle \frac{f}{2}p\Delta V\) módon számítható ki. (Oxigénre \(\displaystyle f_2=5\), héliumra \(\displaystyle f_1=3\).) A megadott összefüggések szerint

\(\displaystyle p_2\Delta V-p_1\Delta V=220~{\rm J},\)

valamint

\(\displaystyle \frac{5}{2}\,p_2\Delta V=2{,}5\cdot \frac{3}{2}\,p_1\Delta V.\)

\(\displaystyle a)\) A fenti összefüggésekből következik, hogy a gázok nyomásának aránya:

\(\displaystyle \frac{p_1}{p_2}=\frac{2}{3},\)

továbbá

\(\displaystyle p_1\Delta V=440~{\rm J}\qquad \text{és}\qquad p_2\Delta V=660~{\rm J}.\)

\(\displaystyle b)\) Mindkét gáznál a vele közölt hő a belső energia megváltozásának és gáz által végzett munkának az összege. Héliumra ez

\(\displaystyle Q_1=\frac32\,p_1\Delta V+p_1\Delta V=\frac52 \,p_1\Delta V=1100~\rm J,\)

az oxigénre pedig

\(\displaystyle Q_2=\frac52\,p_2\Delta V+p_2\Delta V=\frac72 \,p_2\Delta V=2310~\rm J.\)

Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:	Bagu Bálint, Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Biebel Botond, Csonka Illés, Dóra Márton, Fekete András Albert, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabó Márton, Toronyi András.
3 points:	Csapó Tamás, Hegymegi Balázs, Horváth Antal, Kaltenecker Balázs Bence, Kozák Gergely, Könye Sólyom, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Schmercz Blanka, Strinyi Péter, Szász Levente, Téglás Panna, Török 111 László.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2021