Problem P. 5323. (April 2021)

P. 5323. A current \(\displaystyle I = 40\) mA flows into a system of resistors shown in the figure at point \(\displaystyle A\) and flows out of it at point \(\displaystyle B\).

\(\displaystyle a)\) What is the value of the current flowing through each resistor?

\(\displaystyle b)\) What is the dissipated power at each resistor?

\(\displaystyle c)\) What is the resistance of a single resistor with which we could replace the whole system of resistors?

(4 pont)

Deadline expired on May 17, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a felső ágban folyó áramok erősségét \(\displaystyle xI\) és \(\displaystyle yI\) módon. A többi ágban ( Kirchhoff csomóponti törvényét figyelembe véve) az 1. ábra jelöléseinek megfelelő áramok folynak.

1. ábra

A Kirchhoff-féle huroktörvény szerint:

\(\displaystyle 2x-(y-x)-(1-x)=0\qquad\text{és}\qquad (y-x)+2y-2(1-y)=0.\)

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása:

\(\displaystyle x=\frac{7}{19}\qquad\text{és}\qquad y=\frac{9}{19},\)

vagyis az egyes ellenállásokon folyó áramok a 2. ábrán jelölt értékek (\(\displaystyle I=40\) mA).

2. ábra

\(\displaystyle b)\) A teljesítmények a \(\displaystyle P=I^2R\) összefüggés szerint számíthatók (3. ábra):

3. ábra

\(\displaystyle c)\) Az 5 ellenállás összteljesítménye \(\displaystyle P=2{,}69\) W. Ha az eredő ellenállás \(\displaystyle R\), akkor \(\displaystyle P=I^2R,\) vagyis

\(\displaystyle R=\frac{2{,}69~\rm W}{(40~\rm mA)^2}\approx 1{,}68~\rm k\Omega.\)

Ugyanezt az eredményt delta-csillag átalakítással is megkaphatjuk: \(\displaystyle R=\tfrac{32}{19}~\rm k\Omega\approx 1{,}68~\rm k\Omega.\)

Statistics:

38 students sent a solution.
4 points:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Dóra Márton, Dózsa Levente, Hauber Henrik, Horváth Antal, Jirkovszky-Bari László, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Páhán Anita Dalma, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony, Viczián Máté.
3 points:	Albert Máté, Horváth 999 Anikó, Schmercz Blanka, Strinyi Péter, Szabó Márton.
2 points:	5 students.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, April 2021