Problem P. 5325. (April 2021)
P. 5325. A freezer has been operated in a store room for a long time. The temperature inside the freezer is \(\displaystyle -20\;{}^\circ\mathrm{C}\), the temperature in the store-room is \(\displaystyle 25\;{}^\circ\mathrm{C}\), and everywhere else in the flat the temperature is \(\displaystyle 20\;{}^\circ\mathrm{C}\). After a long time of operation what will the temperature of the store room be if another alike freezer is placed into the store-room?
Assume that —apart from the store room— the temperature of the flat does not change. Consider the freezers to be ideal Carnot refrigerators, whose thermostats are adjusted to maintain the inside temperature of \(\displaystyle -20\;{}^\circ\mathrm{C}\).
(6 pont)
Deadline expired on May 17, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a kamra abszolút hőmérsékletét (kelvinben mérve) \(\displaystyle T\)-vel; az első esetben \(\displaystyle T=273+25=298\). A hűtőláda belsejének hőmérséklete mindkét esetben \(\displaystyle 273-20=253,\) a szoba hőmérséklete pedig \(\displaystyle 273+20=293\).
I. eset: egyetlen hűtőláda van a kamrában.
Legyen a hűtőláda belsejéből egységnyi idő alatt elvont hő \(\displaystyle Q_1\), a kamrának leadott hő pedig \(\displaystyle Q_2\). (\(\displaystyle Q_2>Q_1\), hiszen a hűtőláda motorja is energiát visz be a rendszerbe.) Ha a ládát ideális Carnot-gépnek tekinthetjük, akkor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{Q_2}{Q_1}=\frac{T}{253}.\) |
A hűtőláda belső hőmérséklete akkor marad állandó, ha a láda falain keresztül hővezetéssel egységnyi idő alatt éppen \(\displaystyle Q_1\) hő áramlik vissza, vagyis (Newton hővezetési egyenlete szerint)
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle Q_1=\alpha_1 A_1(T-253),\) |
ahol \(\displaystyle A_1\) a hűtőláda felülete, \(\displaystyle \alpha_1\) pedig az (átlagos) hővezetési együttható.
A kamra hőmérséklete akkor marad állandó, ha a falain keresztül a lakás felé időegységenként \(\displaystyle Q_2-Q_1\) hő távozik:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle Q_2-Q_1=\alpha_2 A_2(T-293),\) |
ahol \(\displaystyle A_2\) a kamra és a lakás közötti fal nagysága, \(\displaystyle \alpha_2\) pedig a kamra és a lakás közötti hővezetési együttható.
Osszuk el a (3) egyenletet a (2)-vel, majd a \(\displaystyle Q_2/Q_1\) arányt (1)-et felhasználva helyettesítsük be. Így kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{T}{253}-1=\frac{\alpha_2 A_2 }{\alpha_1 A_1}\cdot\frac{T-293}{T-253}.\) |
Tudjuk, hogy \(\displaystyle T=298\), ennek megfelelően adódik, hogy
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac{\alpha_2 A_2 }{\alpha_1 A_1}=1{,}6.\) |
II. eset: két hűtőláda van a kamrában. Mi változott az előzőekhez képest? A hővezetési együtthatók, valamint a kamra falfelülete ugyanakkora, mint korábban, a hűtőládák és a kamra közötti \(\displaystyle A_1\) felület viszont kétszer nagyobb lett. Ennek megfelelően a (4) egyenlet helyett ezt írhatjuk fel:
\(\displaystyle \frac{T}{253}-1=\frac{\alpha_2 A_2 }{\alpha_1 (2 A_1)}\cdot\frac{T-293}{T-253},\)
azaz (5) behelyettesítése után
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \frac{T}{253}-1=0{,}8\cdot\frac{T-293}{T-253}.\) |
A nevezőkkel beszorozva egy másodfokú egyenletet kapunk, aminek a megoldásai:
\(\displaystyle T_1=308~{\rm K}=35~^\circ{\rm C},\)
illetve
\(\displaystyle T_2=401~{\rm K}=128~^\circ{\rm C}.\)
Érezzük, hogy ezek közül az alacsonyabb érték felel meg a kamra tényleges hőmérsékletének.
Megjegyzés. Az ,,érezzük, hogy ...'' indoklásnál komolyabb érvekkel is alátámaszthatjuk, hogy miért az alacsonyabb kamrahőmérséklet a jó megoldás. Ehhez a megoldások stabilitását kell megvizsgálnunk. Ha a kamrában \(\displaystyle T\) hőmérséklet van, a két hűtőládának egységnyi idő alatt együttesen \(\displaystyle W(T)=\alpha_1(2A_1)(T-253)^2/253\) munkát kell végeznie, hogy tartani tudja a hűtött tér 253 K-es hőmérsékletét. A kamrát ez a \(\displaystyle W(T)\) fűti, miközben időegység alatt \(\displaystyle Q(T)=\alpha_2A_2(T-293)\) hő távozik a lakás többi része felé. Egyensúlyban a két mennyiség (6) szerint egyenlő, ha azonban \(\displaystyle T<T_1\) vagy \(\displaystyle T>T_2\), akkor \(\displaystyle W(T)>Q(T)\), míg \(\displaystyle T_1<T<T_2\) esetén \(\displaystyle W(T)<Q(T)\). Ennek megfelelően, ha kezdetben \(\displaystyle T<T_1\), akkor \(\displaystyle T\) egészen addig növekszik, amíg el nem éri a \(\displaystyle T_1\) értéket. \(\displaystyle T>T_2\) kezdőállapotból kiindulva \(\displaystyle T\) ugyancsak növekedni kezd, és a rendszer egyre jobban eltávolodik a stacionárius állapottól. (A korlátlan melegedésnek az szab határt, hogy a hűtőláda termosztátja állandóan bekapcsolt állapotban lesz, és még így sem tudja tartani a \(\displaystyle -20~^\circ\)C-os belső hőmérsékletet. Ezt a jelenséget erős kánikulában akár még egyetlen hűtőszekrény is produkálhatja.) Végül \(\displaystyle T_1<T<T_2\) kezdeti hőmérséklettől indulva \(\displaystyle T\) időben csökken, egészen a \(\displaystyle T=T_1\) egyensúlyi állapot eléréséig. Mindez azt mutatja, hogy \(\displaystyle T_1\) stabil egyensúlyi állapotnak, \(\displaystyle T_2\) pedig instabil (labilis) állapotnak felel meg.
Statistics:
8 students sent a solution. 6 points: Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2021