Problem P. 5330. (May 2021)

P. 5330. Imagine a spherical celestial body which is at liquid state. The internal gravitation causes hydrostatic pressure. Let the material of the celestial body be water and let its radius be \(\displaystyle R=25\) km. What is the hydrostatic pressure at the centre of the sphere?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle \varrho\) sűrűségű, \(\displaystyle R\) sugarú, homogén folyadékgömb belsejében a középpontjától \(\displaystyle r\) távolságra a nehézségi gyorsuláshoz csak az \(\displaystyle r\) sugarú ,,belső'' rész ad járulékot:

\(\displaystyle g(r)=\gamma \frac{\frac{4\pi}{3}r^3\varrho}{r^2}=\frac{4\pi}{3}\gamma\varrho\cdot r.\)

A gravitációs gyorsulás az \(\displaystyle r\) távolság lineáris függvénye, emiatt a \(\displaystyle 0\le r \le R\) szakaszon az átlaga

\(\displaystyle \overline{g}=\frac{1}{2}g(R)=\frac{2\pi}{3}\gamma\varrho\cdot R.\)

A folyadék hidrosztatikai nyomása a gömp középpontjában:

\(\displaystyle p=\varrho \overline{g}R=\frac{2\pi}{3}\gamma\varrho^2 R^2=87{,}3~\rm kPa.\)

Megjegyzés. Egy ilyen ,,égitest'' nem maradhatna sokáig folyadék halmazállapotban, mert a felszínénél a (gyakorlatilag) nulla nyomás miatt hamar elforrna.

Statistics:

18 students sent a solution.
4 points:	Hauber Henrik, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Somlán Gellért, Szász Levente, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony.
3 points:	Téglás Panna.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2021