Problem P. 5331. (May 2021)

P. 5331. An old, popular toy is the potato rifle, which is made of a 12 cm long elder tube, whose cross sectional area is 0.3 cm\(\displaystyle {}^2\). The two ends of the tube are plugged one after the other, each with a 1 cm long potato cylinder.

One of the potato plugs acts as the projectile and the other as the piston. The potato cylinders seal the tube well. We know that at least 4 N force must be applied to move a potato cylinder (to overcome friction). In order to move the potato cylinder at a constant speed a force of 3.5 N is required. The latter force decreases to 0 in direct proportion to the length of the projectile in the barrel when the potato cylinder leaves the projectile. (The density of potato is 1.06 g/cm\(\displaystyle {}^3\), and the external air pressure is \(\displaystyle 10^5\) Pa.)

\(\displaystyle a)\) What is the pressure of the air in the ``loaded'' rifle, which is sealed at its both ends?

\(\displaystyle b)\) By means of a wooden stick, the potato plug is slowly pushed along the cylinder until the other potato cylinder, the projectile, suddenly pops out of the barrel. How much work do we have to do in order to ``fire'' a loaded rifle?

\(\displaystyle c)\) At what speed does the potato projectile leave the barrel?

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A folyamat jellegzetes pillanatait az ábra mutatja.

\(\displaystyle (i)\) A tárgyalást kezdhetjük annál az állapotnál, amikor a lövedék már a csőben van, de a dugattyút még nem toltuk bele a csőbe. A csőben a levegő nyomása ekkor \(\displaystyle p_0\).

Érdemes megjegyezni, hogy a cső \(\displaystyle A\) nagyságú keresztmetszetén a külső légnyomás \(\displaystyle p_0A=3~\rm N\) erőt fejt ki. (Ezt az összefüggést a továbbiakban többször is felhasználjuk.)

\(\displaystyle (ii)\) Lassan betoljuk az 1 cm hosszú dugattyút is a csőbe. A bent lévő levegő állapotváltozása izotermikus, a nyomás (a Boyle–Mariott-törvény szerint

\(\displaystyle p_1=\frac{11~\rm cm}{10~\rm cm}p_0=1{,}1~p_0\)

értékre nő meg.

Az általunk végzett munka három részből tehető össze:

– Az átlagos súrlódási erő ellenében végzett munka:

\(\displaystyle W_\text{súrl.}=\frac{3{,}5~\rm N}{2}\cdot (1~{\rm cm})=0{,}0175~\rm J.\)

– A gázon végzett izotermikus munkavégzés:

\(\displaystyle W_\text{gázon}=p_0V_0\ln\frac{p_1}{p_0}=p_0A\cdot(0{,}11~{\rm m})\cdot\ln 1{,}1=0{,}0315~\rm J.\)

– A \(\displaystyle p_0\) nyomású légkör térfogata megnő, ennek megfelelő munkavégzésünk:

\(\displaystyle W_\text{légkör}=-p_0A\cdot (0{,}01~\rm m)=-0{,}030~\rm J.\)

A puska megtöltése során végzett összes munkánk:

\(\displaystyle W_{(i)\rightarrow(ii)}=W_\text{súrl.}+W_\text{gázon}+W_\text{légkör}=0{,}019~\rm J.\)

\(\displaystyle (iii)\) Ha a dugattyút (lassan) \(\displaystyle x\) cm-rel beljebb toljuk a csőbe, a bezárt levegő nyomása izotermikusan

\(\displaystyle p_2=\frac{10}{10-x}p_1=\frac{11}{10-x}p_0\)

értékre nő. A lövedék akkor mozdul meg a csőben, ha

\(\displaystyle p_2A=p_0A+(4~\rm N)=7~\rm N,\)

vagyis

\(\displaystyle p_2=\frac{7}{3}p_0=\frac{7}{3}p_0.\)

Az izotermikus állapotegyenlet szerint ez akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{11}{10-x}p_0=\frac{7}{3}p_0,\)

ahonnan

\(\displaystyle x=\frac{37}{7}\approx 5{,}29.\)

A megtöltött krumplipuska dugattyúját tehát 5,29 cm-rel kell betoljuk a csőbe, ekkor fog a puska ,,elsülni''.

Az általunk végzett munka most is három részből tehető össze:

– A súrlódási erő ellenében végzett munka:

\(\displaystyle W_\text{súrl.}= {3{,}5~\rm N} \cdot (5{,}29~{\rm cm})=0{,}185~\rm J.\)

– A gázon végzett izotermikus munkavégzés:

\(\displaystyle W_\text{gázon}=p_0V_0\ln\frac{p_2}{p_1}=p_0A\cdot(0{,}11~{\rm m})\cdot\ln\frac{7/3}{1{,}1} =0{,}248~\rm J.\)

– A \(\displaystyle p_0\) nyomású légkör térfogata megnő, ennek megfelelő munkavégzésünk:

\(\displaystyle W_\text{légkör}=-p_0A\cdot (0{,}053~\rm m)=-0{,}159~\rm J.\)

A már megtöltött puska elsütéséig végzett összes munkánk:

\(\displaystyle W_{(ii)\rightarrow(iii)}=W_\text{súrl.}+W_\text{gázon}+W_\text{légkör}=0{,}274~\rm J.\)

\(\displaystyle (iv)\) A már megmozdult lövedékre korábban ható tapadó súrlódási erő lecsökken 3,5 N-nyi csúszási súrlódásra, és emiatt a lövedék (krumplidugó) hirtelen elhagyja a csövet. A gyors folyamatban adiabatikus állapotváltozás történik, és a nyomás 1 cm út megtétele után lecsökken valamekkora \(\displaystyle p_3\) értékre. Az adiabatikus tágulás \(\displaystyle pV^\kappa=\text{állandó}\) állapotegyenlete szerint

\(\displaystyle p_3(11-x)^{1{,}4}=p_2(10-x)^{1{,}4},\)

azaz

\(\displaystyle p_3=\frac{7}{3}p_0\cdot \left(\frac{10-x}{11-x}\right)^{1{,}4}=1{,}78\,p_0.\)

A lövedék kirepülése közben az adiabatikusan táguló gáz nem vesz fel és nem ad le hőt, a gáz által végzett tágulási munka tehát a belső energiájának csökkenésével egyezik meg:

\(\displaystyle W_\text{gáz}=\frac{5}{2}\left(p_2V_2-p_3V_3\right)= \frac{5}{2}p_0A\left[2{,}33\cdot(10-x)-1{,}78\cdot(11-x) \right]= =0{,}061 ~\rm J.\)

Ha ebből levonjuk a súrlódási erő \(\displaystyle 0{,}017~\rm J\) munkáját és a légkör ,,megemeléséhez'' szükséges 0,030 J munkát, a lövedék mozgási energiájára

\(\displaystyle W_{(iii)\rightarrow(iv)}=E_{\rm m}=\frac{1}{2}mv^2=0{,}014~\rm J\)

energia marad. A krumplilövedék tömege 0,32 g, így a torkolati sebessége

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2E_{\rm m}}{m}}\approx 9~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mozolai Bende Bruno, Somlán Gellért, Toronyi András.
4 points:	Mócza Tamás István.
3 points:	4 students.
2 points:	5 students.
1 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2021