Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5332. feladat (2021. május)

P. 5332. \(\displaystyle L = 0{,}2\) m hosszúságú szigetelőfonálon függ egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle Q = 1~\mu\)C töltésű golyócska. A felfüggesztés alatt \(\displaystyle 2L\) távolságban van egy ugyanakkora, rögzített, \(\displaystyle Q\) ponttöltés.

\(\displaystyle a)\) Hogyan függ a fonál függőlegessel bezárt szöge az \(\displaystyle m\) tömegtől?

\(\displaystyle b)\) Legalább mekkora legyen \(\displaystyle m\), hogy a két golyó közti távolság \(\displaystyle L\) legyen?

\(\displaystyle c)\) Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle m\), hogy a két golyó közti távolság \(\displaystyle 3L\) legyen?

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a fonál \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, akkor a töltések távolsága (a koszinusztétel szerint)

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle d=\sqrt{(2L)^2+L^2-2L\cdot L\cdot \cos\alpha}=L\sqrt{5-4\cos \alpha}.\)

A két töltés között ható (taszító) Coulomb-erő nagysága:

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle F(\alpha)=k\frac{Q^2}{d^2},\)

a nehézségi erő pedig

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle G=mg.\)


1. ábra

A felfüggesztett golyócska akkor lehet egyensúlyban, ha \(\displaystyle \boldsymbol F\) és \(\displaystyle \boldsymbol G\) eredője a fonál irányába mutat, vagyis ezen kér erőnek a fonálra merőleges (érintő irányú) komponense egyforma nagyságú. Az 1. ábrán látható jelölésekkel az egyensúly feltétele:

\(\displaystyle G\,\sin\alpha=F\,\cos(\gamma-90^\circ),\)

vagyis

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle G\,\sin\alpha=F\,\sin\gamma.\)

Az ábrán látható háromszögre felírható szinusztétel szerint

\(\displaystyle \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=\frac{2L}{d},\)

és így az egyensúly (4) feltétele:

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle mg\cdot\sin\alpha=k\frac{2Q^2L}{d^3}\cdot\sin\alpha.\)

Az \(\displaystyle \alpha=0\) helyzethez tartozó elektrosztatikus erő és a nehézségi erő hányadosára érdemes bevezetni a

\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle \lambda=k\frac{Q^2}{L^2mg}\)

dimenziótlan mennyiséget. Ennek segítségével az (5) egyensúlyi egyenlet:

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle \sin\alpha\, \left(2\lambda\frac{L^3}{d^3}-1\right)=0.\)

Az \(\displaystyle \alpha=0\) és \(\displaystyle \alpha=180^\circ\) helyzetek nyilván egyensúlyi állapotok, azonban ezek – a töltések és a tömeg nagyságától függően – lehetnek stabil vagy instabil egyensúlyi helyzetek. Emellett figyelembe kell vegyük azt is, hogy \(\displaystyle \lambda>1\) esetén az legalsó (\(\displaystyle \alpha=0\)) helyzetben a fonál meglazul, és ugyanez történik \(\displaystyle \lambda<9\) esetén az \(\displaystyle \alpha=180^\circ\)-os felső helyzetben.

További egyensúlyi helyzetek is lehetségesek, ha (7)-ben szerepló zárójeles tényező válik nullává, vagyis ha (1)-et felhasználva teljesül, hogy

\(\displaystyle 2\lambda\left(5-4\cos\alpha\right)^{- {3}/{2}}=1,\)

azaz

\(\displaystyle (8)\)\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{5-(2\lambda)^{2/3}}{4}.\)

Mivel \(\displaystyle -1\le\cos\alpha\le 1\), (8)-nak csak akkor van megoldása, ha

\(\displaystyle \frac{1}{2}\ge\lambda\ge \frac{27}{2}.\)


2. ábra

A 2. ábra a lehetséges egyensúlyi helyzetekhez tartozó szögeket mutatja a \(\displaystyle \lambda\) paraméter (ami kifejezhető az \(\displaystyle m\) tömeggel) függvényében. A folytonos (vastag) vonal a stabil, a szaggatott vonal pedig az instabil állapotat jelzi. (Az instabil állapotok vonala a fonál meglazulása miatt szakad meg \(\displaystyle \lambda=1\) és \(\displaystyle \lambda=9\) értékeknél.

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle \lambda\le \frac12\), vagyis

\(\displaystyle m\ge \frac{2kQ^2}{L^2g}=\frac{2\cdot\cdot9\cdot10^9\cdot 10^{-12}}{0{,}04\cdot 9{,}81}~{\rm kg}\approx 46~\rm g,\)

akkor \(\displaystyle \alpha=0\), tehát a két golyó távolsága \(\displaystyle L\) marad.

\(\displaystyle c)\) Ha \(\displaystyle \lambda\ge \frac{27}2\), vagyis

\(\displaystyle m\le \frac{2\,kQ^2}{27\,L^2g}\approx 1{,}7~\rm g,\)

akkor \(\displaystyle \alpha=180^\circ\), tehát a két golyó távolsága \(\displaystyle 3L\) lesz.


Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Gábriel Tamás, Kertész Balázs, Mozolai Bende Bruno, Téglás Panna, Toronyi András.
4 pontot kapott:Kovács Kinga, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2021. májusi fizika feladatai