Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5338. feladat (2021. szeptember)

P. 5338. A bal oldali ábrán látható módon egy dominópárt helyezünk el egy harmadikon.

\(\displaystyle a)\) Határozzuk meg \(\displaystyle x\) lehetséges értékeit, hogy a dominók egyensúlyban legyenek.

\(\displaystyle b)\) Ezt követően további dominópárokat helyezünk el a jobb oldali ábrának megfelelően. Legfeljebb hány dominót helyezhetünk el a legalsóra, hogy az egyensúlyi állapot fennmaradjon?

Közli: Simon Péter, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 15-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) A felső két dominó tömegközéppontja a vízszintes helyzetű, \(\displaystyle m\) tömegű dominó bal szélétől vízszintes irányban mérve

\(\displaystyle s_1=\frac{m\cdot26~{\rm mm}+m\cdot5~{\rm mm}}{2m}=15{,}5~{\rm mm}\)

távol van. Ha \(\displaystyle x>s_1,\) akkor a felső két dominó balra dől, ha pedig \(\displaystyle x+10~{\rm mm}<s_1\), akkor jobbfelé billen a domonópár. Az egyensúly feltétele tehát:

\(\displaystyle 5{,}5~{\rm mm}<x<15{,}5~{\rm mm}.\)

\(\displaystyle b)\) Két dominópár tömegközéppontja az egész elrendezés bal szélétől

\(\displaystyle s_2=\frac{15{,}5+25{,}5}{2}~{\rm mm}=20{,}5~{\rm mm},\)

három dominópáré

\(\displaystyle s_3=\frac{15{,}5+25{,}5+35{,}5}{3}~{\rm mm}=25{,}5~{\rm mm},\)

és általában \(\displaystyle n\) dominópár tömegközéppontja az egész elrendezés bal szélétől

\(\displaystyle s_n=(10{,}5+ 5\cdot n)~{\rm mm}\)

távol található.

Az \(\displaystyle n\) dominópár akkor nem billen jobbra a függőlegesen álló ,,lábos'', ha

\(\displaystyle s_n<52~{\rm mm},\qquad \text{vagyis}\qquad n<8{,}3.\)

A felső \(\displaystyle n-1\) dominópár akkor nem billen el jobbra, ha

\(\displaystyle s_{n-1}<42~{\rm mm},\qquad \text{vagyis}\qquad n<7{,}3.\)

Ez erősebb feltétel, mint a teljes (\(\displaystyle 2n\) darabból álló) rendszer stabilitásának feltétele. Ha ez teljesül, akkor minden \(\displaystyle i<n-1\)-re \(\displaystyle s_i<42,\) tehát az építmény többi része sem borul le.

Megállapíthatjuk tehát, hogy legfeljebb 7 dominópár, azaz \(\displaystyle n_{\rm max}=14\) darab dominó helyezhető el a legalsóra.


Statisztika:

55 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Szabó Márton.
4 pontot kapott:Bencz Benedek, Budai Csanád, Hauber Henrik, Hegedűs Tamás, Kertész Balázs, Köpenczei Csanád, Magyar Gábor Balázs, Molnár-Szabó Vilmos, Páhán Anita Dalma, Pethő Dorottya, Szanyi Attila, Török Eszter Júlia, Yokota Adan.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2021. szeptemberi fizika feladatai