Problem P. 5340. (September 2021)
P. 5340. One of the great radio telescopes of researchers who search for extraterrestrial life, detected some strange variable-frequency signs, shown in the figure, coming from a distant celestial body. The signs were detected continuously for 45 minutes, and then there was a 45-minute break, then again there were signs for 45 minutes and so on. The middle value of the frequency of the detected signs was \(\displaystyle f_0=1.5\) GHz, and the frequency was changing with an amplitude of \(\displaystyle \Delta f=40\) kHz, about the middle value \(\displaystyle f_0\).
The detected radio waves were interpreted by the researchers as signals from an exo-satellite orbiting an exoplanet. It was assumed that the ray joining the Earth and the exoplanet lies in the plane of the orbit of the exo-satellite, and thus the planet mass, radius, and average density could be determined. What values did they get?
(5 pont)
Deadline expired on October 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A bolygó mögé kerülő műhold okozza a jelek megszakadását. A jelek és a szünetek egyforma időtartamából következik, hogy a műhold a bolygó felszínéhez közel kering, keringési ideje \(\displaystyle T=90\) perc. A frekvencia ingadozását a Doppler-hatás okozhatja, a nagyságából kiszámítható a keringés \(\displaystyle v\) sebessége:
\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{\Delta f}{f_0}=2{,}67\cdot10^{-5}\ll1, \qquad \text{ahonnan} \qquad v=\left(2{,}67\cdot10^{-5}\right)\cdot \left(3\cdot 10^5~\frac{\rm km}{\rm s}\right)=8{,}0~\frac{\rm km}{\rm s}.\)
A műhold pályájának sugara (ami közelítőleg a bolygó sugarával egyezik meg):
\(\displaystyle R=\frac{vT}{2\pi}=6880~\rm km.\)
(Ez a Föld sugaránál mindössze 8%-kal nagyobb.)
Ha \(\displaystyle M\) a bolygó tömege, akkor a Newton-féle gravitációs törvény szerint:
\(\displaystyle \gamma \frac{M}{R^2}=\frac{v^2}{R},\)
ahonnan
\(\displaystyle M=\frac{v^2R}{\gamma}= 6{,}6\cdot 10^{24}~\rm kg,\)
ami 10%-kal nagyobb, mint a Föld tömege.
Az exobolygó átlagsűrűsége
\(\displaystyle \varrho=\frac{M}{\frac{4\pi}{3}R^3}=4840~\frac{\rm kg}{\rm m^3},\)
ami a Föld átlagsűrűségének kb. 88%-a.
A megfigyelt exobolygó tehát nagyon hasonlít a Földre, a kiszámított adatait tekintve nagyon ,,földszerű'' égitest lehet.
Statistics:
35 students sent a solution. 5 points: Bacsó Dániel, Barna Benedek, Bencz Benedek, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Hegedűs András , Josepovits Gábor, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kürti Gergely, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Sallai Péter, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szanyi Attila, Takács Bendegúz, Tatár Ágoston, Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Yokota Adan. 4 points: Bódi Áron, Bubics Gergely Dániel, Fey Dávid, Köpenczei Csanád, Molnár-Szabó Vilmos, Szabó Márton. 3 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, September 2021