Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5346. (October 2021)

P. 5346. We move uniformly with a wheelbarrow, which has a big wheel and weighs \(\displaystyle G=100\) N, along the level ground. In this case we have to exert vertically upward forces of magnitude 25 N at the end of each handle of the wheelbarrow. By means of a ruler and a protractor construct and determine the magnitude and the direction of the force \(\displaystyle \boldsymbol F\) exerted on each handle if we move along a slope of angle of elevation \(\displaystyle \alpha=18^\circ\) downward then upward. Verify the result by calculation. For the sake of simplicity assume that the distance between the ground and the ends of the rods is always the radius of the wheel, and that the centre of mass of the wheelbarrow is also at this distance from the ground.

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2021.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A vízszintes helyzetben kifejtett erőből látszik, hogy a talicska súlypontja éppen a kerék és a rudak vége között középen, mindkettőtől ugyanakkora (\(\displaystyle \ell\)) távolságra van.

Készítsünk olyan ábrát, amelyen az \(\displaystyle \alpha\) szöget szögmérővel kimért \(\displaystyle 18^\circ\)-ra állítjuk be (1. ábra). A talicska méretét a rajzon önkényesen választhatjuk meg.

Tudjuk, hogy a súlyerő hatásvonala a \(\displaystyle T\) tömegközépponton átmenő függőleges egyenes. Azt is tudjuk, hogy a keréknél a lejtő irányára merőleges erő hat (ellenkező esetben a kerékre ható eredő forgatónyomaték nem lenne nulla). A kerékre ható \(\displaystyle \boldsymbol N\) nyomóerő nagyságát nem ismerjük, csak azt tudjuk, hogy a hatásvonala átmegy az \(\displaystyle A\) ponton (a kerék tengelyén). A súlyerő és a nyomóerő hatásvonala a \(\displaystyle P\) pontban metszi egymást, és ugyanezen a pontok kell áthaladnia a \(\displaystyle B\) pontban kifejtett, ismeretlen nagyságú \(\displaystyle \boldsymbol F\) erőnek is.


1. ábra

A \(\displaystyle P\) pontig eltolt \(\displaystyle \boldsymbol F\) és \(\displaystyle \boldsymbol N\) vektor összege \(\displaystyle -\boldsymbol G\)-t kell adjon. Az ábráról vonalzóval és szögmérővel leolvashatjuk, hogy az erők nagyságával arányos \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) távolságok aránya kb. 0,57, vagyis \(\displaystyle F\approx 57~\)N, és a függőlegessel bezárt \(\displaystyle \varphi\) szög kb. \(\displaystyle 15^\circ\). A talicska száraira tehát egyenként kb. 28,5 N erőt kell kifejteni, és azok a függőlegestől \(\displaystyle 15^\circ\)-kal ,,előrefelé'' dőlnek.

Hasonló módon végezhetjük el a szerkesztést a lefelé haladó talicskánál is (2. ábra).


2. ábra

Az ábráról leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle F\) nagysága itt is kb. 57 N, és a függőlegessel bezárt szöge ugyancsak kb. \(\displaystyle 15^\circ\), de most a rudak végénél kifejtett erő ,,hátrafelé'' dől.

A kétféle elrendezés azonos végeredménye nem véletlen. Ha ugyanis az 1. ábrán látható talicska erőrendszerét a \(\displaystyle T\) ponton átmenő és az ábra síkjára merőleges tengely körül \(\displaystyle 180^\circ\)-kal elforgatjuk, majd mindhárom erő irányát megfordítjuk, akkor éppen a 2. ábra erőrendszerét kapjuk.

A szerkesztéssel kapott eredményt számítással is ellenőrizhetjük, pontosíthatjuk. A 3. ábrán látható jelöléseket fogjuk használni.


3. ábra

A \(\displaystyle PAB\) derékszögű háromszögből leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle AP=2\ell \tg\beta\), a \(\displaystyle PAT\) derékszögű háromszögből pedig azt, hogy \(\displaystyle AP=\frac{\ell}{ \tg\alpha}\). Ezek szerint

\(\displaystyle \tg\beta=\frac{1}{2\tg\alpha}=\frac{1}{2\tg18^\circ}=1{,}539 \qquad \Rightarrow \qquad \beta=56{,}98^\circ\approx 57^\circ.\)

A talicska rúdjainak végénél összesen kifejtett \(\displaystyle \boldsymbol F\) erőnek a függőlegessel bezárt szöge

\(\displaystyle \varphi=90^\circ-(\alpha+\beta)=15{,}02^\circ\approx 15^\circ.\)

Felírhatjuk meg a \(\displaystyle PSR\) háromszögre a szinusztételt:

\(\displaystyle \frac{\vert\boldsymbol F\vert}{\vert\boldsymbol G\vert}=\frac{PR}{PQ}=\frac{\sin\alpha}{\sin(90^\circ+\beta)}=0{,}567.\)

Ezek szerint a rúdvégekre összesen \(\displaystyle 56{,}7~{\rm N}\approx 57~{\rm N}\) erőt kell kifejtenünk.


Statistics:

26 students sent a solution.
4 points:Albert Máté, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Mészáros Ádám, Murai Dóra Eszter, Schmercz Blanka, Visontai Barnabás Péter.
3 points:Fajszi Karsa, Kovács Kinga, Köpenczei Csanád, Marozsi Lenke Sára, Nagy 456 Imre, Vágó Botond, Waldhauser Miklós.
2 points:2 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, October 2021