Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5347. feladat (2021. október)

P. 5347. A kezdetben nyugvó, \(\displaystyle m=2\) kg tömegű test súrlódásmentesen mozoghat a vízszintes felületen. Egy adott pillanatban a testre a felülettel párhuzamosan egy olyan állandó irányú \(\displaystyle F\) erő kezd hatni, amelynek nagysága egyenletesen változva 4 s alatt 0-ról 20 N-ra nő.

\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a test sebessége \(\displaystyle t_1=3\) s múlva?

\(\displaystyle b)\) Mekkora utat tesz meg a test 3 s alatt, ha a \(\displaystyle t_2=2\) s alatt megtett út \(\displaystyle s_2=\frac{10}3\) m?

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A test gyorsulása 4 s alatt

\(\displaystyle \frac{20~\rm N}{2~\rm kg}=10~\frac{\rm m}{\rm s^2}\)

értékre nő, a közbenső időben tehát

\(\displaystyle a(t)=k\cdot t\)

módon változik, ahol \(\displaystyle k=2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\) a mozgásra jellemző állandó.

\(\displaystyle a)\) A test kezdeti gyorsulása nulla, 3 másodperc múlva \(\displaystyle 7{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^2}\), a sebességnövekedés átlagos értéke a \(\displaystyle 0\le t\le t_1\) időintervallumban

\(\displaystyle \overline{a}=3{,}75~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Mivel a gyorsulás az idővel arányosan növekszik, a sebességet számolhatjuk az átlagos gyorsulás és az idő szorzataként:

\(\displaystyle v(3~\rm s)=\left(3{,}75~\frac{\rm m}{\rm s^2}\right)\cdot(3~{\rm s})=11{,}25~\frac{\rm m}{\rm s }.\)

\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle t\) idő alatt megtett \(\displaystyle s(t)\) utat a \(\displaystyle k\) állandó és \(\displaystyle t\) együtt határozza meg. Mivel \(\displaystyle k\) dimenziója m/s\(\displaystyle ^3\), az idő dimenziója másodperc, ezekből csak úgy kaphatunk méter dimenziójú mennyiséget, hogy a megtett út

\(\displaystyle s(t)=\lambda\cdot kt^3,\)

ahol \(\displaystyle \lambda\) egy dimenziótlan állandó. Tudjuk, hogy

\(\displaystyle s(t_2)=s_2,\qquad\text{azaz}\qquad \frac{10}{3}~{\rm m}=\lambda\cdot \left(2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\right)\cdot (2~\rm s)^3,\)

a dimenziótlan állandó értéke: \(\displaystyle \lambda=\frac{1}{6}.\)

Most már könnyen kiszámíthatjuk a 3 másodperc alatt megtett út hosszát:

\(\displaystyle s(3~\rm s)=\frac{1}{6}\cdot \left(2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\right)\cdot \left(3~\rm s\right)^3 =11{,}25~\rm m.\)

Megjegyzés. A feladat integrálszámítással is megoldható. Ha

\(\displaystyle a(t)\equiv\frac{{\rm d}v(t)}{{\rm d}t}=k\cdot t,\)

akkor (a kezdeti feltételeket is figyelembe véve)

\(\displaystyle v(t)\equiv\frac{{\rm d}s(t)}{{\rm d}t}=k\cdot \frac{t^2}{2} \qquad\text{és}\qquad s(t) =k\cdot \frac{t^3}{6}.\)


Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott: Bagu Bálint, Akansh Khandelwal , Albert Máté, Barkóczi Zsombor , Barna Benedek, Bencz Benedek, Biebel Botond, Bubics Gergely Dániel, Budai Csanád, Dobre Zsombor, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Fey Dávid, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Hegedűs András , Jeszenői Sára, Juhász Júlia, Kertész Balázs, Klepáček László, Kollmann Áron Alfréd, Kovács Kristóf , Kovács Márton András, Köpenczei Csanád, Magyar Gábor Balázs, Mészáros Ádám, Miruna Neacsu, Mozolai Bende Bruno, Nagy Andor, Nemeskéri Dániel, Nguyen Hoang Trung, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Szabó Márton, Szanyi Attila, Téglás Panna, Toronyi András, Török Dorka, Török Eszter Júlia, Vadász Roland, Vágó Botond, Viczián Máté, Vig Zsófia, Vincze Farkas Csongor, Visontai Barnabás Péter, Waldhauser Miklós, Yokota Adan.
4 pontot kapott:13 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi fizika feladatai