Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5347. feladat (2021. október)

P. 5347. A kezdetben nyugvó, \(\displaystyle m=2\) kg tömegű test súrlódásmentesen mozoghat a vízszintes felületen. Egy adott pillanatban a testre a felülettel párhuzamosan egy olyan állandó irányú \(\displaystyle F\) erő kezd hatni, amelynek nagysága egyenletesen változva 4 s alatt 0-ról 20 N-ra nő.

\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a test sebessége \(\displaystyle t_1=3\) s múlva?

\(\displaystyle b)\) Mekkora utat tesz meg a test 3 s alatt, ha a \(\displaystyle t_2=2\) s alatt megtett út \(\displaystyle s_2=\frac{10}3\) m?

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A test gyorsulása 4 s alatt

\(\displaystyle \frac{20~\rm N}{2~\rm kg}=10~\frac{\rm m}{\rm s^2}\)

értékre nő, a közbenső időben tehát

\(\displaystyle a(t)=k\cdot t\)

módon változik, ahol \(\displaystyle k=2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\) a mozgásra jellemző állandó.

\(\displaystyle a)\) A test kezdeti gyorsulása nulla, 3 másodperc múlva \(\displaystyle 7{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^2}\), a sebességnövekedés átlagos értéke a \(\displaystyle 0\le t\le t_1\) időintervallumban

\(\displaystyle \overline{a}=3{,}75~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

Mivel a gyorsulás az idővel arányosan növekszik, a sebességet számolhatjuk az átlagos gyorsulás és az idő szorzataként:

\(\displaystyle v(3~\rm s)=\left(3{,}75~\frac{\rm m}{\rm s^2}\right)\cdot(3~{\rm s})=11{,}25~\frac{\rm m}{\rm s }.\)

\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle t\) idő alatt megtett \(\displaystyle s(t)\) utat a \(\displaystyle k\) állandó és \(\displaystyle t\) együtt határozza meg. Mivel \(\displaystyle k\) dimenziója m/s\(\displaystyle ^3\), az idő dimenziója másodperc, ezekből csak úgy kaphatunk méter dimenziójú mennyiséget, hogy a megtett út

\(\displaystyle s(t)=\lambda\cdot kt^3,\)

ahol \(\displaystyle \lambda\) egy dimenziótlan állandó. Tudjuk, hogy

\(\displaystyle s(t_2)=s_2,\qquad\text{azaz}\qquad \frac{10}{3}~{\rm m}=\lambda\cdot \left(2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\right)\cdot (2~\rm s)^3,\)

a dimenziótlan állandó értéke: \(\displaystyle \lambda=\frac{1}{6}.\)

Most már könnyen kiszámíthatjuk a 3 másodperc alatt megtett út hosszát:

\(\displaystyle s(3~\rm s)=\frac{1}{6}\cdot \left(2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\right)\cdot \left(3~\rm s\right)^3 =11{,}25~\rm m.\)

Megjegyzés. A feladat integrálszámítással is megoldható. Ha

\(\displaystyle a(t)\equiv\frac{{\rm d}v(t)}{{\rm d}t}=k\cdot t,\)

akkor (a kezdeti feltételeket is figyelembe véve)

\(\displaystyle v(t)\equiv\frac{{\rm d}s(t)}{{\rm d}t}=k\cdot \frac{t^2}{2} \qquad\text{és}\qquad s(t) =k\cdot \frac{t^3}{6}.\)


Statisztika:

A P. 5347. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. októberi fizika feladatai