Problem P. 5347. (October 2021)
P. 5347. An initially stationary object of mass \(\displaystyle m=2\) kg can move frictionlessly along a horizontal surface. At a certain moment a force of constant direction and parallel to the surface is started to be exerted on the object. The magnitude of the force is increasing uniformly from 0 to 20 N in 4 s.
\(\displaystyle a)\) What will the speed of the object be after \(\displaystyle t_1=3~\)s?
\(\displaystyle b)\) How much distance does the object cover in 3 s, if the distance covered in \(\displaystyle t_2=2\) s is \(\displaystyle s_2=\frac{10}3\) m?
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A test gyorsulása 4 s alatt
\(\displaystyle \frac{20~\rm N}{2~\rm kg}=10~\frac{\rm m}{\rm s^2}\)
értékre nő, a közbenső időben tehát
\(\displaystyle a(t)=k\cdot t\)
módon változik, ahol \(\displaystyle k=2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\) a mozgásra jellemző állandó.
\(\displaystyle a)\) A test kezdeti gyorsulása nulla, 3 másodperc múlva \(\displaystyle 7{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^2}\), a sebességnövekedés átlagos értéke a \(\displaystyle 0\le t\le t_1\) időintervallumban
\(\displaystyle \overline{a}=3{,}75~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
Mivel a gyorsulás az idővel arányosan növekszik, a sebességet számolhatjuk az átlagos gyorsulás és az idő szorzataként:
\(\displaystyle v(3~\rm s)=\left(3{,}75~\frac{\rm m}{\rm s^2}\right)\cdot(3~{\rm s})=11{,}25~\frac{\rm m}{\rm s }.\)
\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle t\) idő alatt megtett \(\displaystyle s(t)\) utat a \(\displaystyle k\) állandó és \(\displaystyle t\) együtt határozza meg. Mivel \(\displaystyle k\) dimenziója m/s\(\displaystyle ^3\), az idő dimenziója másodperc, ezekből csak úgy kaphatunk méter dimenziójú mennyiséget, hogy a megtett út
\(\displaystyle s(t)=\lambda\cdot kt^3,\)
ahol \(\displaystyle \lambda\) egy dimenziótlan állandó. Tudjuk, hogy
\(\displaystyle s(t_2)=s_2,\qquad\text{azaz}\qquad \frac{10}{3}~{\rm m}=\lambda\cdot \left(2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\right)\cdot (2~\rm s)^3,\)
a dimenziótlan állandó értéke: \(\displaystyle \lambda=\frac{1}{6}.\)
Most már könnyen kiszámíthatjuk a 3 másodperc alatt megtett út hosszát:
\(\displaystyle s(3~\rm s)=\frac{1}{6}\cdot \left(2{,}5~\frac{\rm m}{\rm s^3}\right)\cdot \left(3~\rm s\right)^3 =11{,}25~\rm m.\)
Megjegyzés. A feladat integrálszámítással is megoldható. Ha
\(\displaystyle a(t)\equiv\frac{{\rm d}v(t)}{{\rm d}t}=k\cdot t,\)
akkor (a kezdeti feltételeket is figyelembe véve)
\(\displaystyle v(t)\equiv\frac{{\rm d}s(t)}{{\rm d}t}=k\cdot \frac{t^2}{2} \qquad\text{és}\qquad s(t) =k\cdot \frac{t^3}{6}.\)
Statistics:
Problems in Physics of KöMaL, October 2021