Problem P. 5348. (October 2021)
P. 5348. In a demonstration flight, a new passenger aircraft travelled at a speed of 85.2 m/s at a height of 150 metres, where the temperature of the air was \(\displaystyle 15\,{}^\circ\). This speed is one quarter of the speed of sound there, which is usually formulated as \(\displaystyle v=0.25\) M, i.e. 0.25 Mach. At ground level, the air had a temperature of \(\displaystyle 16\,{}^\circ\)C. The cruising speed of this aircraft is 900 km/h, which is 0.82 M (0.82 Mach) at the cruising altitude, and at the temperature there.
Considering air as an ideal gas and assuming that the temperature of the air varies linearly with the distance measured from the ground, determine
\(\displaystyle a)\) the temperature of the air at the cruising height;
\(\displaystyle b)\) the cruising height.
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A hangsebesség hőmérsékletfüggő. Táblázati adatok szerint \(\displaystyle 0^\circ\)C-on a hang sebessége
\(\displaystyle c_0=331{,}8~\frac{ \rm m}{\rm s},\)
\(\displaystyle t\) (\(\displaystyle ^\circ\rm C\)-ban mért) hőmérsékleten pedig
\(\displaystyle c(t)=c_0\sqrt{1+\frac{t}{273}}.\)
150 m magasságban, \(\displaystyle 15^\circ\)C-os levegőben a hangsebesség
\(\displaystyle c(15)=331{,}8~\frac{ \rm m}{\rm s}\,\sqrt{1+\frac{16}{273}}=340{,}8~\frac{ \rm m}{\rm s},\)
ennek 0,25-szöröse a repülőgép ottani sebessége.
Ha az utazási repülési magasságban 900 km/h=250 m/s a repülőgép sebessége, és ez 0,82 machnak felel meg, akkor az ottani hangsebesség
\(\displaystyle c(t)=\frac{250~\rm m/s}{0{,}82}=304{,}9~\frac{ \rm m}{\rm s}=331{,}8~\frac{ \rm m}{\rm s}\sqrt{1+\frac{t}{273~\rm K}}.\)
Ezek szerint az utazási repülési magasságban a hőmérséklet
\(\displaystyle t=\left\{\left(\frac{304{,}9}{331{,}8}\right)^2-1\right \}\cdot 273 =-42{,}5~^\circ\rm C.\)
\(\displaystyle b)\) Amennyiben a hőmérséklet a magassággal arányosan, 150 méterenként 1 fokkal csökken, akkor a repülési utazási magasság
\(\displaystyle h=(16+42{,}5)\cdot 150~{\rm m}=8775~\rm m\)
lehetett.
Statistics:
60 students sent a solution. 4 points: Bagu Bálint, Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bálint Máté, Bánovics Anna, Bányai Kristóf, Bencz Benedek, Biebel Botond, Bogdán Benedek, Dóra Márton, Hauber Henrik, Hegedűs András , Horváth 221 Zsóka, Jeviczki Soma Balázs, Josepovits Gábor, Juhász Júlia, Kertész Balázs, Kohut Márk Balázs, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Marozsi Lenke Sára, Mészáros Ádám, Murai Dóra Eszter, Nagy 456 Imre, Schmercz Blanka, Sulok Yahyaa, Szabadszállási-Tóbi Zsolt, Szabó Márton, Szanyi Attila, Tatár Ágoston, Téglás Panna, Vágó Botond, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia, Visontai Barnabás Péter, Waldhauser Miklós. 3 points: Beke Bálint, Csonka Illés, Fajszi Karsa, Juhász-Molnár Erik, Kelecsényi Levente , Kiss Ádám , Kovács Gergely, Lighuen Belián Paz, Magyar Gábor Balázs, Sándor Dominik, Schneider Dávid, Szedlák Bence. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, October 2021